Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Đường trung trực của AB cắt BC tại I.

a) Chứng minh rằng $Δ A I B, Δ A I C$ là các tam giác cân.

b) Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, cắt tia BA và AC tại M và N; tia BN cắt CM tại E. Chứng minh rằng $E B ⊥ M C .$

c) Chứng minh rằng các đường thẳng EA và BC song song với nhau.

Giải bởi qa.haylamdo.com

a) Do I nằm trên đường trung trực của AB nên AI = BI.

$Δ A I B$ có AI = BI nên $Δ A I B$ cân tại I.

Do đó $\hat{I A B} = \hat{I B A}$ .

Lại có: $\hat{I A B} + \hat{I A C} = 90 °;$ $\hat{I B A} + \hat{I C A} = 90 °$ nên $\hat{I A C} = \hat{I C A}$ .

$Δ A I C$ có $\hat{I A C} = \hat{I C A}$ nên $Δ A I C$ cân tại I.

b) Xét $Δ M B C$ có $C A ⊥ M B;$ $M I ⊥ B C$ .

Mà CA cắt MI tại N nên N là trực tâm của $Δ M B C$ .

Do đó $B N ⊥ M C$ hay $B E ⊥ M C$ .

c) $Δ M B C$ có MI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $Δ M B C$ cân tại M.

Khi đó MI là đường phân giác của $\hat{B M C} .$

$\Rightarrow \hat{A M N} = \hat{E M N}$ .

Xét $Δ A M N$ vuông tại A và $Δ E M N$ vuông tại E có:

MN chung.

$\Rightarrow Δ A M N = Δ E M N$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow Δ A M N = Δ E M N$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow$ MA = ME (2 cạnh tương ứng).

$Δ M A E$ có MA = ME nên $Δ M A E$ cân tại M.

Do đó $\hat{M A E} = \hat{M E A}$ .

Xét $Δ M A E$ có $\hat{M A E} + \hat{M E A} + \hat{A M E} = 180 °$

$\Rightarrow 2 \hat{M A E} + \hat{A M E} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{M A E} = \frac{180 ° - \hat{A M E}}{2}$ (1).

Do $Δ M B C$ cân tại M nên $\hat{M B C} = \hat{M C B}$ .

Xét $Δ M B C$ có $\hat{M B C} + \hat{M C B} + \hat{B M C} = 180 °$

$\Rightarrow 2 \hat{M B C} + \hat{B M C} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{M B C} = \frac{180 ° - \hat{B M C}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{M A E} = \hat{M B C}$ .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EA // BC.

Vậy hai đường thẳng EA và BC song song với nhau.

Xem đáp án » 28/06/2022 135

Xem đáp án » 28/06/2022 70

Xem đáp án » 28/06/2022 68

Xem đáp án » 28/06/2022 68

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »