Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo aa khoảng cách dd từ M đến mặt phẳng (SAC).
Giải bởi qa.haylamdo.com
Bước 1: Đổi \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\] sang \[d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Gọi H là trung điểm AB. Vì \[\Delta SAB\] cân tại S nên\[SH \bot AB\]
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (ABCD),SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi \[K = HD \cap AC\] Áp dụng định lí Ta-let ta có\[\frac{{DK}}{{HK}} = \frac{{DC}}{{AH}} = 2 \Rightarrow DK = 2HK\]
Ta có \[MD \cap \left( {SAC} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Lại có\[DH \cap \left( {SAC} \right) = K\] nên\[\frac{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{HK}} = 2 \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Bước 2: Trong (ABCD) kẻ \[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\] trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] chứng minh\[HN \bot \left( {SAC} \right)\]
Do đó\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Trong (ABCD) kẻ\[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\], trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot HE}\\{AC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SHE) \Rightarrow AC \bot HN\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HN \bot SE}\\{HN \bot AC}\end{array} \Rightarrow HN \bot (SAC)} \right.\)
\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HN\]
Bước 3: Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.
Vì \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\] nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\]
\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHC\] vuông cân tại \[H \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} \]
\[ = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\]
Bước 4: Tính\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Ta có: \[{S_{HAC}} = \frac{1}{2}HE.AC = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\]
\[ \Rightarrow HE.AC = \frac{1}{2}.AB.BC\]
\[ \Rightarrow HE = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{1}{2}.a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:
Nên\[HN = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {\frac{{17{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{5}} }} = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]
Vậy \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=AB=a và AD=x.a. Gọi E là trung điểm của SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD) bằng \(h = \frac{a}{3}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc \({60^ \circ }\)Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 300. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^ \circ }\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\). Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) .
Cho hình lập phương ABCD,A′B′C′D′ có cạnh bằng 3a. Khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm O đến các đường thẳng BC,CA,AB lần lượt là \(a,a\sqrt 2 ,a\sqrt 3 \). Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) là \(\frac{{2a\sqrt m }}{{11}}\). Tìm m.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên \(SA = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\) và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \[AD = 2BC,\;AB = BC = a\sqrt 3 \]. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi E là trung điểm của cạnh SC. Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = a\sqrt 2 \). Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách dd từ D đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh aa. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?
