ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Giới hạn của hàm số
-
410 lượt thi
-
16 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giới hạn L khi \[x \to {x_0}\;\] kí hiệu là:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2:
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \] là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \]
\[ = \sqrt {\frac{{{{9.3}^2} - 3}}{{\left( {2.3 - 1} \right)\left( {{3^4} - 3} \right)}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3:
Giả sử \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\] khi đó:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 4:
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\] là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 4} \right| = 1\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5:
Số L là giới hạn phải của hàm số y=f(x) kí hiệu là:
Số L là: + giới hạn bên phải của hàm số\[y = f\left( x \right)\] kí hiệu là\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\]
+ giới hạn bên trái của hàm số \[y = f\left( x \right)\] kí hiệu là\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 6:
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\] là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty }\\{\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } (\frac{1}{{{x^2}}} - 1 + {{\frac{1}{{x3}}}^{}}) = - 1 < 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7:
Cho hàm số y=f(x) có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]. Chọn đáp án đúng:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 8:
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 9:
Chọn đáp án đúng: Với c,k là các hằng số và k nguyên dương thì:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 10:
Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 11:
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\] là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = + \infty \]
vì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 = 2 >0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12:
Cho \[n = 2k + 1,k \in N\]. Khi đó:
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \] nếu k chẵn và\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \] nếu k lẻ.
Do đó, vì \[n = 2k + 1,k \in N\] là số nguyên dương lẻ nên\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x}}{{\sqrt {1 - x} }}khi\,x < 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 1} \,khi\,x \ge 1}\end{array}} \right.\). Khi đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\] là:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14:
Khẳng định nào sau đây Sai?
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty }\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15:
Cho đa thức f(x) thỏa mãn \[\frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} = 12\]. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\]
Bước 1:
Đặt\[g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\]
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\]
Bước 2:
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}}\\{ = 12.\frac{1}{{2.\left( {2 + 1} \right)}} = 2}\end{array}\]
Câu 16:
Cho f(x) là đa thức thỏa mãn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}\]. Tính \[\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\]
Bước 1:
Đặt \[g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}\] ta có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 10\] và\[f\left( x \right) - 20 = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20} \right] = 10.\left( {2 - 2} \right) + 20 = 20\]
Bước 2:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{6f(x) + 5 - 125}}{{(x - 2)(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{6[f(x) - 20]}}{{(x - 2)(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 20}}{{x - 2}}.\frac{6}{{(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = 10.\frac{6}{{(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6.20 + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6.20 + 5}} + 25} \right]}} = \frac{4}{{25}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B