IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

  • 417 lượt thi

  • 20 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho phương trình \[ax + b = 0\]. Chọn mệnh đề đúng:

Xem đáp án

- Nếu  \[a \ne 0\;\] thì phương trình có nghiệm \[x = - \frac{b}{a}\].

- Nếu  a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

- Nếu  a = 0 và \[b \ne 0\] thì phương trình vô nghiệm.

Từ đó C đúng.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 2:

Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\;\] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

Xem đáp án

- TH1: Nếu \[a \ne 0\] thì phương trình có nghiệm duy nhất ⇔Δ=0⇔Δ=0.

- TH2: Nếu a = 0 thì phương trình trở thành \[bx + c = 0\] có nghiệm duy nhất\[ \Leftrightarrow b \ne 0\].

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Phương trình \[{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0\]

Xem đáp án

Ta có: \[{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {\sqrt 3 x - 2\sqrt 3 } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - \sqrt 3 \left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Phương trình \[{x^2} + m = 0\;\] có nghiệm khi và chỉ khi:

Xem đáp án

Xét \[{x^2} + m = 0\]

Phương trình có nghiệm khi \[{\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 0\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 5:

Cho phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] Đặt \(S = - \frac{b}{a},P = \frac{c}{a}\), hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Xem đáp án

Đáp án A: Nếu \[P < 0 \Rightarrow ac < 0\]  nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Đáp án B: Ta xét phương trình \[{x^2} + x + 1 = 0\] có \[P = 1 >0,S < 0\] nhưng lại vô nghiệm nên B sai.

Đáp án C, D: Nếu\[{\rm{\Delta }} >0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. khi đó S,P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Do đó:

+) Nếu P >0 và  S < 0 thì (1) có 2 nghiệm âm phân biệt.

+) Nếu P >0  và  S >0 thì (1) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Cho phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\]. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi :

Xem đáp án

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta >0}\\{S < 0}\\{P >0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 7:

Phương trình \[\left( {{m^2} - m} \right)x + m - 3 = 0\]là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi

Xem đáp án

 Phương trình \[\left( {{m^2} - m} \right)x + m - 3 = 0\]là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:

\[a = {m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 8:

Câu nào sau đây sai ?

Xem đáp án

Xét đáp án A : Khi m = 2 phương trình có dạng \[0.x + 0 = 0\]có vô số nghiệm nên A sai.

Xét đáp án B: Khi \[m \ne 1\] thì \[m - 1 \ne 0\]  nên phương trình :\[\left( {m - 1} \right)x + 3m + 2 = 0\] có nghiệm duy nhất.

Xét đáp án C: Khi m = 2 thì phương trình là:

\[\frac{{x - 2}}{{x - 2}} + \frac{{x - 3}}{x} = 3 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{x} = 2 \Rightarrow x - 3 = 2x \Leftrightarrow x = - 3\left( {TM} \right)\] nên C đúng.

Xét đáp án D: Khi\[m \ne 2\]và \[m \ne 0\]  thì \[{m^2} - 2m \ne 0\] nên phương trình \[\left( {{m^2} - 2m} \right)x + m + 3 = 0\;\] có nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :

Xem đáp án

Đáp án A: Phương trình:\[3x + 5 = 0\] có nghiệm là \[x = - \frac{5}{3}\]nên A đúng.          

Phương trình: \[0x - 7 = 0\] vô nghiệm nên B đúng.                                             

Phương trình : \[0x + 0 = 0\] có vô số nghiệm hay có tập nghiệm \(\mathbb{R}\) nên C đúng.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Phương trình: \[(a - 3)x + b = 2\;\] vô nghiệm với giá trị a,ba,b là:

Xem đáp án

Ta có: \[\left( {a - 3} \right)x + b = 2 \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)x + \left( {b - 2} \right) = 0\]

Phương trình vô nghiệm khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 3 = 0}\\{b - 2 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b \ne 2}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Phương trình \[({m^2} - 2m)x = {m^2} - 3m + 2\] có nghiệm khi:

Xem đáp án

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 2m \ne 0}\\{{m^2} - 2m = {m^2} - 3m + 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{m \ne 2}\end{array}} \right.}\\{m = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 12:

Phương trình \[\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 5 = 0\] có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:

Xem đáp án

Phương trình có vô số nghiệm khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 3m + 2 = 0}\\{{m^2} + 4m + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)(do phương trình \[{m^2} + 4m + 5 = 0\] vô nghiệm với mọi m

Đáp án cần chọn là: D


Câu 13:

Phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - 1 = 0\]. Phương trình có nghiệm khi:

Xem đáp án

Với m = 1  ta được phương trình\[3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\]

Với \[m \ne 1\]

\[{\rm{\Delta }} = {3^2} + 4\left( {m - 1} \right)\]

Phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - 1 = 0\] có nghiệm khi \[{\rm{\Delta }} \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {3^2} + 4\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \frac{5}{4}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Cho phương trình \[\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0\] .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi:

Xem đáp án

Ta có:\[(x - 1)({x^2} - 4mx - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 4mx - 4 = 0}\end{array}} \right.\]Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi\[{x^2} - 4mx - 4 = 0\] có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime >0}\\{f(1) \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{m^2} + 4 >0}\\{ - 4m - 3 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ne - \frac{3}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Để hai đồ thị \[y = - {x^2} - 2x + 3\] và \[y = {x^2} - m\;\] có hai điểm chung thì:

Xem đáp án

- Xét phương trình \[ - {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - m \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0\left( 1 \right)\]- Hai đồ thị có hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} >0 \Leftrightarrow 1 + 2m + 6 >0 \Leftrightarrow m >- \frac{7}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 16:

Giả sử các phương trình sau đây đều có nghiệm. Nếu biết các nghiệm của phương trình: \[{x^2}\; + px + q = 0\] là lập phương các nghiệm của phương trình \[{x^2} + mx + n = 0.\] Thế thì:

Xem đáp án

Gọi \[{x_1},{x_2}\] là nghiệm của \[{x^2}\; + px + q = 0\]

Gọi \[{x_3},{x_4}\] là nghiệm của\[{x^2}\; + mx + n = 0\]

- Khi đó, theo vi-et: \[{x_1} + {x_2} = - p,{x_3} + {x_4} = - m,{x_3}.{x_4} = n\]

- Theo yêu cầu ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {x_3}^3}\\{{x_2} = {x_4}^3}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {x_3}^3 + {x_4}^3 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^3} - 3{x_3}{x_4}\left( {{x_3} + {x_4}} \right)\)

\[ \Rightarrow - p = - {m^3} + 3mn \Rightarrow p = {m^3} - 3mn\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 17:

Cho phương trình :\[{x^2} - 2a\left( {x - 1} \right) - 1 = 0.\] Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số aa bằng :

Xem đáp án

Ta có: \[{x^2} - 2a\left( {x - 1} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2a - 1}\end{array}} \right.\]

(do \[1 + \left( { - 2a} \right) + 2a - 1 = 0\])

Yêu cầu bài toán \[{x_1} + {x_2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\]

\[ \Rightarrow 2a = 4{a^2} - 4a + 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{a = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 18:

Cho hai phương trình: \[{x^2} - 2mx + 1 = 0\;\] và \[{x^2} - 2x + m = 0\]. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để mỗi nghiệm của phương trình này là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tổng các phần tử của S gần nhất với số nào dưới đây?

Xem đáp án

Gọi \[{x_1};{x_2}\] là nghiệm của phương trình\[{x^2} - 2mx + 1 = 0\;\] khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}.{x_2} = 1}\end{array}} \right.\)

Gọi \[{x_3};{x_4}\] là nghiệm của phương trình\[{x^2} - 2x + m = 0\] khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 2}\\{{x_3}.{x_4} = m}\end{array}} \right.\)

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \frac{1}{{{x_3}}}}\\{{x_2} = \frac{1}{{{x_4}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{1}{{{x_3}}} + \frac{1}{{{x_4}}}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{1}{{{x_3}.{x_4}}}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{{x_3} + {x_4}}}{{{x_3}.{x_4}}}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{1}{{{x_3}.{x_4}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m = \frac{2}{m}}\\{1 = \frac{1}{m}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}\] lần lượt là M và m thì:

Xem đáp án

Đặt \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - A} \right){x^2} + \left( {4 - 3A} \right)x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}\]

Phương trình (1) có nghiệm\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow {{\left( {4 - 3A} \right)}^2} - 4.\left( {1 - A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {4 - 4A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right) \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 + 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0}\\{\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0}\\{\, \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {3A - 2} \right) \le 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le A \le 2}\end{array}\]

+) \[A \ge \frac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \frac{2}{3}\]

\[A = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\]

+) \[A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2\]

\[A = 2 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]

Vậy\[Min\,f\left( x \right) = Min\,A = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = - 1;Max\,f\left( x \right) = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x = - 1\]

Khi đó, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M = 2}\\{m = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

\[M + m = \frac{8}{3}\]⇒ Đáp án A sai.

\[Mm = \frac{4}{3} \Rightarrow \]Đáp án B  sai.

\[\frac{M}{m} = 3 \Rightarrow \]Đáp án C  sai.

\[M - m = \frac{4}{3} \Rightarrow \]Đáp ánD đúng.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 20:

Tìm tất cả các gía trị thực của tham số mm sao cho phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\] có hai nghiệm dương phân biệt.

Xem đáp án

Phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\]có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\Delta >0}\\{P >0}\\{S >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{4{{(m + 1)}^2} - 4(m - 1)(m + 4) >0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\\{\frac{{m + 4}}{{m - 1}} >0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\\{\frac{{m + 1}}{{m - 1}} >0\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}\end{array}} \right.\)

Giải (1):\[m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\]

Giải (2):

\[4{(m + 1)^2} - 4(m - 1)(m + 4) >0\]

\[ \Leftrightarrow (4{m^2} + 8m + 4) - (4m - 4)(m + 4) >0\]

\[ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 >0\]

\[ \Leftrightarrow - 4m + 20 >0\]

\[ \Leftrightarrow m < 5\]

Giải (3):

\(\frac{{m + 4}}{{m - 1}} >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 4 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 4 >0}\\{m - 1 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >- 4}\\{m >1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 4}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >1}\\{m < - 4}\end{array}} \right.\)

Giải (4):

\(\frac{{m + 1}}{{m - 1}} >0\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 < 0}\\{m - 1 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >- 1}\\{m >1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >1}\\{m < - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết hợp cả 4 điều kiện ta được m < −4 hoặc 1 < m < 5.

Đáp án cần chọn là: A

</></></></></></></></>


Bắt đầu thi ngay