Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).\]. Tính \(\frac{b}{c}\).
A.\[\frac{{13}}{{9\pi }}\]
B. \[\frac{{14}}{9}\]
C. \[\frac{{14}}{{9\pi }}\]
D. \[\frac{{14\pi }}{9}\]
Giải bởi qa.haylamdo.com
Ta có\[3\sin x + \cos x = A\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + B\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 3sinx + cosx = (2A - 3B)sinx + (3A + 2B)cosx\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2A - 3B = 3}\\{3A + 2B = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = \frac{9}{{13}}}\\{B = - \frac{7}{{13}}}\end{array}} \right.\)
Nên
\[3\sin x + \cos x = \frac{9}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{7}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)\]
Từ đó ta có
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3sinx + cosx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{9}{{13}}(2sinx + 3cosx) - \frac{7}{{13}}(2cosx - 3sinx)}}{{2sinx + 3cosx}}dx} \)
\(\begin{array}{l} = \frac{9}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx - \frac{7}{{13}}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2cosx - 3sinx}}{{2sinx + 3cosx}}} dx\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{2sinx + 3cosx}}} d(2sinx + 3cosx)\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln|2sinx + 3cosx|\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \frac{{9\pi }}{{26}} - \frac{7}{{13}}ln2 + \frac{7}{{13}}ln3\end{array}\)
Suy ra\[b = \frac{7}{{13}};c = \frac{9}{{26}} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{14}}{9}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 4xf\left( {{x^2}} \right)dx\]
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:
Cho \[\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = - 1\], tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\):
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \[\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2\] . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx\]. Nếu đổi biến số \[t = si{n^2}x\] thì:
Đặt\[t = {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \Rightarrow \sin x\cos xdx = \frac{1}{2}dt\] và\[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - t\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}co{s^2}x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln n}}\ln \left( {p + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right)\] với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng \[S = m + n + p\].
Cho \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 1.\]Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx\]
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx\] bằng phương pháp đổi biến số \[u = \sqrt {{e^x} - 1} \]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Đổi biến \[u = \ln x\] thì tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\] thành:
Biết rằng \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\] với \[a \in R\]. Khi đó giá trị của a bằng:
