IMG-LOGO

Câu hỏi:

20/07/2024 82

Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 2 \right) = 1,\;\int\limits_0^1 {f(2x)dx = 2} \]. Tích phân \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)} dx\) bằng

Trả lời:

verified Giải bởi qa.haylamdo.com

Bước 1: Sử dụng tích phân từng phần.

Ta có \[A = \mathop \smallint \nolimits_0^2 xf'\left( x \right)dx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = u}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{dx = du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

Khi đó\[A = x.f(x)\left| {_0^2} \right. - \int\limits_0^2 {f(x)dx = 2f\left( 2 \right) - \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx} \]

Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Xét\[B = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {2x} \right)dx\]

Đặt\[t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\]

Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có\[B = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 2 \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 4\]

Vậy \[A = 2.1 - 4 = - 2\]

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì 

Xem đáp án » 05/07/2022 182

Câu 2:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng

Xem đáp án » 05/07/2022 173

Câu 3:

Biết rằng\[\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\], trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

Xem đáp án » 05/07/2022 163

Câu 4:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:

Xem đáp án » 05/07/2022 156

Câu 5:

Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\]thì\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\] bằng:

Xem đáp án » 05/07/2022 141

Câu 6:

Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)

Xem đáp án » 05/07/2022 125

Câu 7:

Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Xem đáp án » 05/07/2022 117

Câu 8:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;\]thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\], \({\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\)

Xem đáp án » 05/07/2022 115

Câu 9:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}\], giá trị của m bằng :

Xem đáp án » 05/07/2022 113

Câu 10:

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2

Xem đáp án » 05/07/2022 112

Câu 11:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}\], tổng m+n

Xem đáp án » 05/07/2022 107

Câu 12:

Cho hàm số f(x) có \[f\left( 2 \right) = 0\;\] và \[f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;\]. Biết rằng \[\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:

Xem đáp án » 05/07/2022 106

Câu 13:

Cho hàm số f(x) có \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\] và \[f\prime (x) = xsinx\]. Giả sử rằng \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\] (với a,b,c là các số nguyên dương, \(\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó a+b+c bằng:

Xem đáp án » 05/07/2022 103

Câu 14:

Giả sử tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.\].  Với phân số  \(\frac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :

Xem đáp án » 05/07/2022 101

Câu 15:

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên \[\left[ { - 1;1} \right]\] thỏa mãn: \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}\] và \[f\left( 1 \right) = 5\]. Khi đó \[\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx\] bằng:

Xem đáp án » 05/07/2022 98

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »