Cho $\mathrm{\Delta ABC}$, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD.

a) Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC

b) Chứng minh: Các tứ giác DAEF; MNPQ là hình bình hành

c) Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF; MNPQ là hình gì ? Chứng minh?

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông?

a) Ta có E là trung điểm AC, F là trung điểm BC nên EF là đường trung bình $\mathrm{\Delta ABC}$  

b) Ta có EF là đường trung bình $\mathrm{\Delta ABC}$ (cmt) $\Rightarrow \mathrm{EF}//\mathrm{AB}\&\mathrm{EF}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}$ mà D là trung điểm AB nên $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{EF}=\mathrm{AD}\\ \mathrm{EF}//\mathrm{AD}\end{array}\right.$$\Rightarrow \mathrm{ADFE}$ là hình bình hành

Xét $\mathrm{\Delta ADE}$ có M, N lần lượt là trung điểm AD, AE $\Rightarrow \mathrm{MN}//\mathrm{DE}\&\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{DE}$

Cmtt $\Rightarrow \mathrm{PQ}//\mathrm{DE}\&\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{DE}\Rightarrow \mathrm{PQ}=\mathrm{MN}\&\mathrm{PQ}//\mathrm{MN}\Rightarrow \mathrm{PQMN}$ là hình bình hành

c) Khi $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A thì $\widehat{\mathrm{A}}=90°\Rightarrow$Hình bình hành DAEF có $\widehat{\mathrm{A}}=90°$ nên DAEF là hình chữ nhật.

Khi $\widehat{\mathrm{A}}=90°$ thì DAEF là hình chữ nhật $\Rightarrow \mathrm{AF}=\mathrm{DE}$  

Mặt khác, theo tính chất đường trung bình ta có $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{DE},\mathrm{NP}=\frac{1}{2}\mathrm{AF}$ khi đó MN = NP

=> MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi

d) $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A thì MNPQ là hình thoi. Để MNPQ là hình vuông thì $\mathrm{MN}\perp \mathrm{NP}$ mà

MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nên $\mathrm{DE}\perp \mathrm{AF}$ mà DE // BC (tính chất đường trung bình)$\Rightarrow \mathrm{AF}\perp \mathrm{BC}$

Suy ra $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A có AF là vừa đường trung tuyến, vừa đường cao

Nên $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông cân tại A

Vậy $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.