Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\text{P=8x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{xy}-6\mathrm{y}+21$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.

a) Chứng minh đồng dạng với $\mathrm{\Delta CAD}$.

b) Chứng minh ${\mathrm{BC}}^2=\mathrm{CM}.\mathrm{CD}$. Tính độ dài đoạn MC, biết $\mathrm{AB}=8\mathrm{cm},\mathrm{BC}=6\mathrm{cm}$.

c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, Mk cắt AC tại điểm I. Chứng minh $\mathrm{BIM}=\mathrm{AMC}$

Cho biểu thức $\mathrm{M}=\left(\frac{3+\mathrm{x}}{\mathrm{x}-3}+\frac{18}{9-{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+3}\right)$$:\left(1-\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}\right)$

a) Rút gọn M và tìm điều kiện xác định M.

b) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên.

Một phân xưởng được giao nhiệm vụ sản xuất một số lượng sản phẩm trong thời gian 10 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày phân xưởng sản xuất nhiều hơn dự định 20 sản phẩm nên không những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn làm vượt mức 40 sản phẩm. Tính năng suất dự định của phân xưởng.

Giải phương trình sau:

a) $\frac{\mathrm{x}-1}{3}+\frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}}=2$

b) ${\mathrm{x}}^2-25=\left(2\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+5\right)$

c) $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}-\frac{{\mathrm{x}}^2+2}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}=\frac{3}{\mathrm{x}}$