Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, AB < AC, AH là đường cao.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta HAC}$ và $\mathrm{\Delta ABC}$ đồng dạng.

b) Chứng minh ${\mathrm{HA}}^2=\mathrm{HB}.\mathrm{HC}$

c) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh ${\text{CH.CB=4DE}}^2$

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại B và đường thẳng DE. Gọi N là giao điểm của AH và CM. Chứng minh N là trung điểm của AH.

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 25m. nếu giảm chiều dài 25m thì diện tích miếng đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là 1000${\mathrm{m}}^2$. Tính các kích thước của miếng đất ban đầu.

Giải phương trình:

a) $\left(3\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)={\left(2\mathrm{x}+1\right)}^2$

b) $\frac{2}{\mathrm{x}-2}-\frac{3}{3-\mathrm{x}}=\frac{3\mathrm{x}-20}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}$

Cho phương trình $\left({\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+3\right)\mathrm{x}-6=0$ (m là tham số)

a) Tìm giá trị của m để phương trình nhận x = 2 là một nghiệm.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn $0<\mathrm{a}\le \mathrm{b}\le \mathrm{c}$. Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\ge \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$