Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ cân tại A, có đường cao AH $\left(\mathrm{H}\in \mathrm{BC}\right)$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Gọi n là trung điểm của AH, chứng minh N là trung điểm của EC.

c) Cho AH = 8 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích $\mathrm{\Delta AHM}$.

d) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F. Kẻ $\mathrm{HK}\perp \mathrm{FC}\left(\mathrm{K}\in \mathrm{FC}\right)$. Gọi I, Q lần lượt là trung điểm của HK, KC. Chứng minh $\mathrm{BK}\perp \mathrm{FI}$.

a) Do E là điểm đối xứng với H qua M nên M là trung điểm của EH.

Lại có M là trung điểm của AB nên hai đường chéo AB và EH của tứ giác AHBE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác là hình bình hành.

Mặt khác AH là đường cao của $\mathrm{\Delta ABC}$ nên góc AHB vuông.

Vậy tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Do AHBE là hình chữ nhật nên

$\mathrm{AE}//\mathrm{BH};\mathrm{AE}=\mathrm{BH}$$\Rightarrow \mathrm{AE}//\mathrm{HC};\mathrm{AE}=\mathrm{HC}$$\Rightarrow$tứ giác AEHC là hình bình hành. Suy ra hai đường chéo AH và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà N là trung điểm của AH nên N là trung điểm của EC.

c) Do M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là trung điểm của AH nên MN là đường trung bình của $\mathrm{\Delta ABH}$ suy ra