Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6, AC = 8; đường cao AH, phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD.

a) Tính AD, DC.

b) Chứng minh $\frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}$.

c) Chứng minh AB.BI = BD.HB và tam giác AID cân.

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)$

Ta có AD là tia phân giác $\widehat{ABC}$, theo tính chất tia phân giác của tam giác:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$$\Rightarrow \frac{AD}{DC+AD}=\frac{AB}{BC+AB}$

$\iff \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}$.

Thay số, ta được: $\frac{AD}{8}=\frac{6}{10+6}\Rightarrow AD=\frac{6.8}{10+6}=3\left(cm\right)$.

Þ DC = AC – AD = 8 – 3 = 5 (cm)

Vậy AD = 3 cm, DC = 5 cm.

b) Xét DHBA và DABC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}={90}^o$ 

$\widehat{BAH}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$).

Do đó DHBA  DABC (g.g)

Suy ra: $\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$$\Rightarrow \frac{HB}{AB}=\frac{AD}{DC}$         (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác $\widehat{ABH}$, áp dụng tính chất tia phân giác, ta có:

$\frac{HB}{AB}=\frac{IH}{IA}$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}$ (đpcm).

c) Xét DABD và DHBI có:

$\widehat{BAD}=\widehat{AHB}={90}^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{IBH}$ (vì BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$)

Do đó DABD  DHBI (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI}\iff AB.BI=BD.HB$

Lại có DABD  DHBI $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{ADI}$ (hai góc tương ứng)

Mà: $\widehat{BIH}=\widehat{AID}$ nên $\widehat{AID}=\widehat{ADI}$

Do đó DAID cân tại A.