Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng:

Phương pháp: - Áp dụng tích phân từng phần với ∫02xf'xdx. - Từ giả thiết f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2 tính f(2) - Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2. - Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính J=∫02f2−xdx, từ đó tính ∫02fxdx và tính I. Cách giải: Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx. ⇒I=∫02xf'xdx=xfx20−∫02fxdx Theo bài ra ta có: f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2. ⇒f0+f2=2⇒f2=2−f0=2−3=−1. ⇒I=2f2−∫02fxdx=2−∫02fxdx. Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2 ta có ∫02fxdx+∫02f2−xdx=∫02x2−2x+2dx=83. Xét J=∫02f2−xdx, đặt t=2−x⇒dt=−dx. Đổi cận x=0⇒t=2x=2⇒t=0. ⇒J=−∫20ftdt=∫02fxdx. ⇒∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43. Vậy ⇒I=−2−43=−103. Chọn A.

Câu hỏi:

29/06/2024 55

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn f(0) = 3 và $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in ℝ .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng:

A. $- \frac{10}{3}$

Đáp án chính xác

B. $- \frac{5}{3}$

C. $- \frac{11}{3}$

D. $- \frac{7}{3}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần với $\int_{0}^{2} x f' (x) d x .$

- Từ giả thiết $f (0) = 3, f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2$ tính f(2)

- Lấy tích phân hai vế biểu thức $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2.$

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính $J = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x,$ từ đó tính $\int_{0}^{2} f (x) d x$ và tính I.

Cách giải:

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases} .$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{2} x f' (x) d x = x f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{2} f (x) d x$

Theo bài ra ta có: $f (0) = 3, f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2.$

$\Rightarrow f (0) + f (2) = 2 \Rightarrow f (2) = 2 - f (0) = 2 - 3 = - 1.$

$\Rightarrow I = 2 f (2) - \int_{0}^{2} f (x) d x = 2 - \int_{0}^{2} f (x) d x .$

Lấy tích phân hai vế biểu thức $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2$ ta có

$\int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{0}^{2} f (2 - x) d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x + 2) d x = \frac{8}{3} .$

Xét $J = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x,$ đặt $t = 2 - x \Rightarrow d t = - d x .$ Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = 0 \end{cases} .$

$\Rightarrow J = - \int_{2}^{0} f (t) d t = \int_{0}^{2} f (x) d x .$

$\Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{4}{3} .$

Vậy $\Rightarrow I = - 2 - \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} .$

Chọn A.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{16} (a b) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 04/07/2022 320

Câu 2:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tích là một số lẻ bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 236

Câu 3:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?

Xem đáp án » 04/07/2022 234

Câu 4:

Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số $y = - 2 x + 2 + a \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ có cực đại?

Xem đáp án » 04/07/2022 209

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, tam giác vuông tại $B, A B = a \sqrt{2}$ và BC = a (minh họa hình vẽ bên dưới). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 198

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 5 = 0$ là:

Xem đáp án » 04/07/2022 182

Câu 7:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên đoạn [-3; 3] bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 177

Câu 8:

Cho các số thực dương a, b khác 1 thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{b} 16$ và ab = 64. Giá trị của biểu thức ${(\log_{2} \frac{a}{b})}^{2}$ bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 176

Câu 9:

Cho phương trình $\log_{3}^{2} (3 x) - (m + 2) \log_{3} x + 2 m - 5 = 0$ (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc [9; 27] là:

Xem đáp án » 04/07/2022 171

Câu 10:

Bất phương trình $3^{x^{2} + 1} > 3^{2 x + 1}$ có tập nghiệm là:

Xem đáp án » 04/07/2022 160

Câu 11:

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r, chiều cao h bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 150

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và đi qua điểm A(0; 4; -1) là:

Xem đáp án » 04/07/2022 132

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (3; 2; 1), \vec{b} = (- 2; 0; 1) .$ Vectơ $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ có độ dài bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 129

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án » 04/07/2022 123

Câu 15:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} = 12$ và $u_{5} = 9.$ Giá trị công sai d của cấp số cộng đó là:

Xem đáp án » 04/07/2022 120

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất

31 đề 50394 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 22146 lượt thi Thi thử
30 đề thi thử thpt năm 2020 môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

29 đề 19886 lượt thi Thi thử
Đề ôn luyện thi thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 16337 lượt thi Thi thử
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

3 đề 15254 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

30 đề 14711 lượt thi Thi thử
Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải

26 đề 13227 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

31 đề 12854 lượt thi Thi thử
ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2019 MÔN TOÁN CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC

21 đề 10965 lượt thi Thi thử
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay

21 đề 10842 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng:

A. −103

B. −53

C. −113

D. −73

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn log2a=log16ab. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 2:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tích là một số lẻ bằng:

Câu 3:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?

Câu 4:

Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số y=−2x+2+ax2−4x+5 có cực đại?

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn f(0) = 3 và $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in ℝ .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng:

A. $- \frac{10}{3}$

B. $- \frac{5}{3}$

C. $- \frac{11}{3}$

D. $- \frac{7}{3}$

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{16} (a b) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số $y = - 2 x + 2 + a \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ có cực đại?