Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b.

Phương pháp giải: - Rút f'x từ giả thiết đề bài cho. - Tìm fx=∫f'xdx, sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫xdx=23xx+C. - Từ giả thiết f0=23 tìm hằng số C và suy ra hàm số fx. - Tính ∫01fxdx với hàm fx vừa tìm được, đưa kết quả về dạng a2+b15. Đồng nhất hệ số tìm a,b và tính tổng T=a+b. Giải chi tiết: Ta có: x+x+1f'x=1∀x≥−1 ⇔f'x=1x+x+1∀x≥−1 ⇔f'x=x+1−x∀x≥−1 ⇒fx=∫x+1−xdx=23x+1x+1−xx+C Mà f0=23 ⇒231−0+C=23⇒C=0 ⇒fx=23x+1x+1−xx Khi đó ta có: ∫01fxdx=23∫01x+1x+1−xxdx =23.25x+12x+1−x2x01 =41542−1−1−0 =162−815 ⇒a=16b=−8 Vậy T=a+b=16+−8=8.

Câu hỏi:

22/07/2024 117

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

A. -8

B. -24

C. 24

D. 8

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Phương pháp giải: - Rút $f^{'} (x)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f (x) = \int f^{'} (x) d x$ , sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ .

- Từ giả thiết $f (0) = \frac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f (x)$ .

- Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ với hàm $f (x)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ . Đồng nhất hệ số tìm $a, b$ và tính tổng $T = a + b$ .

Giải chi tiết: Ta có:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1 \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \forall x \geq - 1$

$\Rightarrow f (x) = \int (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) d x = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) + C$

Mà $f (0) = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} (1 - 0) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x})$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) d x$

$= \frac{2}{3} . \frac{2}{5} {({(x + 1)}^{2} \sqrt{x + 1} - x^{2} \sqrt{x})|}_{0}^{1}$

$= \frac{4}{15} [(4 \sqrt{2} - 1) - (1 - 0)]$

$= \frac{16 \sqrt{2} - 8}{15}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 16 \\ b = - 8 \end{cases}$

Vậy $T = a + b = 16 + (- 8) = 8$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian $Ox y z$ , cho hai điểm $A (2; - 3; - 1), B (4; 5; 1)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

Xem đáp án » 05/07/2022 415

Câu 2:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Xem đáp án » 05/07/2022 339

Câu 3:

Sự kiện nào đã đánh dấu Nguyễn Ái Quốc bước đầu tìm ra con đường cứu nước đúng đắn cho dân tộc Việt Nam?

Xem đáp án » 05/07/2022 225

Câu 4:

Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:

Xem đáp án » 05/07/2022 211

Câu 5:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Xem đáp án » 05/07/2022 203

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ biết $A (1; 0; 1), B (2; 1; 2)$ , $D (2; - 2; 2)$ , $A^{'} (3; 0; - 1)$ , điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách $A M + M C$ là:

Xem đáp án » 05/07/2022 199

Câu 7:

Cho hàm bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $h (x) = |f (\sin x) - 1|$ có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn $[0; 2 π]$ .

Xem đáp án » 05/07/2022 194

Câu 8:

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:

“Ta về, mình có nhớ ta

Ta về, ta nhớ những hoa cùng người.

Rừng xanh hoa chuối đỏ tươi

Đèo cao nắng ánh dao gài thắt lưng”

(Trích Việt Bắc – Tố Hữu, Ngữ văn 12, Tập một, NXB Giáo dục)
Đoạn thơ trên muốn nhắc tới vẻ đẹp của thiên nhiên trong thời khắc mùa nào trong năm

Xem đáp án » 05/07/2022 193

Câu 9:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = x^{2} + 8 \ln 2 x - m x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ ?

Xem đáp án » 05/07/2022 190

Câu 10:

Cho bất phương trình: $\frac{|x - 1|}{x + 2} > 1$ Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là:

Xem đáp án » 05/07/2022 185

Câu 11:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên bé hơn −6 để phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} = x + 2$ có nghiệm?

Xem đáp án » 05/07/2022 181

Câu 12:

Ông A dự định sử dụng hết 5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án » 05/07/2022 179

Câu 13:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ x^{2} + 2 x y - y^{2} = 7 \end{cases}$ , cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

Xem đáp án » 05/07/2022 178

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Xem đáp án » 05/07/2022 174

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

Xem đáp án » 05/07/2022 173

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 10 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội năm 2022 có đáp án

11 đề 4362 lượt thi Thi thử
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án

6 đề 3570 lượt thi Thi thử
Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - bài toán đếm

2 đề 1093 lượt thi Thi thử
Bài toán về đồ thị hàm số bậc hai

2 đề 1072 lượt thi Thi thử
Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng

2 đề 1023 lượt thi Thi thử
Hàm số bậc hai

2 đề 507 lượt thi Thi thử
Phương trình đường tròn

2 đề 469 lượt thi Thi thử
Khoảng cách và góc

2 đề 440 lượt thi Thi thử
Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

2 đề 416 lượt thi Thi thử
Giới hạn của hàm số

2 đề 409 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b.

A. -8

B. -24

C. 24

D. 8

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;−3;−1, B4;5;1. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

Câu 2:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Câu 3:

Sự kiện nào đã đánh dấu Nguyễn Ái Quốc bước đầu tìm ra con đường cứu nước đúng đắn cho dân tộc Việt Nam?

Câu 4:

Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

Trong không gian $Ox y z$ , cho hai điểm $A (2; - 3; - 1), B (4; 5; 1)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: