IMG-LOGO

Câu hỏi:

22/07/2024 145

Biết rằng tồn tại các giá trị của \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\] để ba số \[1 + sinx,si{n^2}x,1 + sin3x\;\]lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x.

A.\[S = 5\pi \]

Đáp án chính xác

B. \[S = 3\pi \]

C. \[S = \frac{{7\pi }}{2}\]

D. \[S = \frac{{23\pi }}{6}\]

Trả lời:

verified Giải bởi qa.haylamdo.com

Ta có

\[\begin{array}{l}1 + sinx + 1 + sin3x = 2si{n^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + sinx + 3sinx - 4si{n^3}x = 2si{n^2}x\\ \Leftrightarrow 4si{n^3}x + 2si{n^2}x - 4sinx - 2 = 0\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx = \pm 1}\\{sinx = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx = 0}\\{sinx = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\\begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array}\end{array}} \right.\,\,\,\,(k \in Z)\)

\[ + )x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2}}\\{x = \frac{{3\pi }}{2}}\end{array}} \right.\]

\[ + )x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\]

\[ + )x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in Z);x \in [0;2\pi ] \Rightarrow 0 \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{6}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{2} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6} = 5\pi \]

Đáp án cần chọn là: A

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \[{x^3} - 3m{x^2} + 2m(m - 4)x + 9{m^2} - m = 0\;\]?

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt\[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có\[{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = 3m\]

Vì\[{x_1},{x_2},{x_3}\] lập thành một cấp số cộng nên

\[{x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\]

Thay\[{x_2} = m\] vào phương trình ban đầu ta được

\[{m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}(m - 4) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)

Thử lại:

Khi m=0 , phương trình trở thành\[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\]  phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m=1 , phương trình trở thành\[{x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\] Dễ thấy −2,1,4−2,1,4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d=3.

Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì mm nguyên.

Khi m=0 ta có phương trình\[{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\] phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m=1 phương trình trở thành \[{x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\] Dễ thấy −2,1,4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d=3 .

Vậy m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem đáp án » 05/07/2022 240

Câu 2:

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \[\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }},\frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\] lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Xem đáp án » 05/07/2022 209

Câu 3:

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện ba số \[\frac{1}{{x + y}},\frac{1}{{y + z}},\frac{1}{{z + x}}\;\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

Xem đáp án » 05/07/2022 177

Câu 4:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]xác định bởi \({u_3} = - 2\)và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in {N^*}\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Xem đáp án » 05/07/2022 171

Câu 5:

Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có 88 số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

Xem đáp án » 05/07/2022 162

Câu 6:

Cho cấp số cộng \[6;x; - 2;y\]. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Xem đáp án » 05/07/2022 160

Câu 7:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_3} + {u_5} = 5}\\{{u_3}.{u_5} = 6}\end{array}} \right.\). Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Xem đáp án » 05/07/2022 160

Câu 8:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có \[{u_2} = 2017\;\] và \[{u_5} = 1945.\].  Tính \[{u_{2018}}\] .

Xem đáp án » 05/07/2022 158

Câu 9:

Nghiệm của phương trình 1+7+13+…+x=280 là:

Xem đáp án » 05/07/2022 151

Câu 10:

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là 5 hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5 hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

Xem đáp án » 05/07/2022 144

Câu 11:

Cho cấp số cộng có tổng của 4 số hạng liên tiếp bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:

Xem đáp án » 05/07/2022 141

Câu 12:

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \[{x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\], tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

Đặt\[t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\] khi đó phương trình trở thành\[{t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\](*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \prime >0}\\{S >0}\\{P >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25 - 2{m^2} - 7m >0}\\{10 >0}\\{2{m^2} + 7m >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)

Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là\[{t_1},{t_2}\,\,({t_1} < {t_2})\] Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau\[ - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \]

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì

\[ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\]

Mà theo định lí Vi-et ta có\[{t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\]

Lại có\[{t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - \frac{9}{2}}\end{array}} \right.(tm)\]

Do đó\[{1^3} + {\left( { - \frac{9}{2}} \right)^3} = - \frac{{721}}{8}\]

Xem đáp án » 05/07/2022 141

Câu 13:

Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Ký hiệu hn là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao hn.

Ký hiệu hn  là độ cao bậc n so với mặt sân. Khi đó ta có\[{h_{n + 1}} = {h_n} + 0,18\,\,\left( m \right)\]  trong đó\[{h_1} = 0,5m\] là độ cao của bậc 1 so với mặt sân.

Dãy số\[\left( {{h_n}} \right)\]  là cấp số cộng có\[{h_1} = 0,5\] và công sai d=0,18. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là\[{h_n} = {h_1} + \left( {n - 1} \right)d = 0,5 + \left( {n - 1} \right)0,18\] (mét).

Xem đáp án » 05/07/2022 140

Câu 14:

Độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là:

Xem đáp án » 05/07/2022 137

Câu 15:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\]có công sai d = 2 và \[u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\] đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)?\]

Xem đáp án » 05/07/2022 134

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »