Tính \[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\]?
A.\[\frac{x}{{{x^2} + 1}} + C\]
B. \[\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
C. \[\frac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
D. \[\frac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
Giải bởi qa.haylamdo.com
Ta có:\[\frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]
\[ \Rightarrow \smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx\,\,\left( 1 \right)\]
Ta tính\[\smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\] bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{{d({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra
\[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + C.\]
Đáp án cần chọn là: C
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
Tìm nguyên hàm F(x) của \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}.\] biết F(0)=1.
