Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
A.\[\frac{{3\sqrt 3 a}}{8}\]
B. \[\frac{{\sqrt {13} a}}{2}\]
C. \[\frac{{\sqrt {21} a}}{6}\]
D. \[\frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]
Giải bởi qa.haylamdo.com
Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).
Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.
Qua N kẻ ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\prime E \bot BB\prime }\\{NI\parallel B\prime E}\end{array} \Rightarrow NI \bot BB\prime \Rightarrow IM = IB\prime } \right.\)
Lại có \[I \in OO'\] nên \[IA' = IB' = IC'\]Do đó ta có\[IA' = IB' = IC' = IM\] nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính\[R = IB'\]
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel B\prime O\prime }\\{B\prime N\parallel O\prime I}\end{array}} \right.\) nên O’B’NI là hình bình hành
\[ \Rightarrow O'I = B'N = \frac{1}{2}B'M = \frac{1}{4}BB' = \frac{a}{2}\]
Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \[B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \frac{2}{3}B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:
\[IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{O^{\prime 2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \[\angle BAC = {120^0}\]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằng
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =\(a\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ là:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\). Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?
