Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \[(\alpha ):x - my + z + 6m + 3 = 0\;\]và \[(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = 0\]; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \[\Delta \]. Gọi \[\Delta '\] là hình chiếu của \[\Delta \] lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \[\Delta '\] luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng OxyOxy. Tính giá trị biểu thức \[P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2}.\]
A.P=56.
B.P=9.
C.P=41.
D.P=73.
Giải bởi qa.haylamdo.com
Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) theo m.
Mặt phẳng\[(\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0\] có một vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )\]
\[\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)\], và mặt phẳng\[(\beta ):mx + y - mz\] có một vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {{n_2}} = (m;1; - m).\] Ta có\[M\left( { - 3m + \frac{4}{m} - 3;0; - 3m - \frac{4}{m}} \right) \in {\rm{\Delta }} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\]
Do đó Δ có một vectơ chỉ phương là\[\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)\]
Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là\[\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)\]
Phương trình mặt phẳng (P) là :\[2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0\]
Vì\[I(a;b;c) \in (Oxy)\] nên I(a;b;0).
Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu \[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]. Tìm a và b
Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu\[(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R({m^2} + 1)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = - R({m^2} + 1)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = - R}\\{b - 8 = - R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)</>
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\)
Vậy I(−3;7;0), do đó \[P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là
Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \[(P):2x + 2y - z - 3 = 0\]và mặt cầu \[(S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \[\Delta \] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\] và đường thẳng \[d:x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\]. (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \[{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.
Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]. Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 600. Dây cung AB có độ dài bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 3 - t'}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:
