Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH $(H\in BC)$ . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC, M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh:

a)     Tam giác ABH đồng dạng với tam giác AHD

b)     $H{E}^2=AE.CE$

c)     Tam giác ECM đồng dạng với tam giác DBM

 

a)     Xét $\Delta ABH$  và $\Delta AHD$ có $\widehat{H}=\widehat{D}={90}^0;\widehat{A}chung$ $\Rightarrow \Delta ABH~\Delta AHD(g-g)$

b)    Xét $\Delta HAE$ và $\Delta CHE$ có: $\widehat{AEH}=\widehat{CEH}={90}^0;\widehat{HAE}=\widehat{CHE}$  (cùng phụ $\widehat{AHE}$ )

$\Rightarrow \Delta HAE~\Delta CHE(g-g)\Rightarrow \frac{HE}{AE}=\frac{CE}{HE}\Rightarrow H{E}^2=AE.CE$

c)     Xét $\Delta AHD~\Delta ABH(g-g)\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}\Rightarrow A{H}^2=AD.AB$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow A{H}^2=AE.AC\Rightarrow AB.AD=AE.AC\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$

Xét $\Delta DAC$ và $\Delta EAB$có $\widehat{A}chung$ ; $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}\left(cmt\right)$$\Rightarrow \Delta ABE~\Delta ACD\left(cgc\right)\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACM}$

Xét $\Delta ECM$ và $\Delta DBM$  có $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\left(cmt\right);\widehat{DMB}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh)

Nên $\Delta ECM~\Delta DBM$