Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu ab<1 thì ab<a+cb+c (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1<aa+b+bb+c+cc+a<2

ab<1⇒a<b ⇔a–bc<0⇒ac<bc⇒ac+ab<bc+ab⇒a.(b+c)<b(a+c)⇒ab<a+cb+c Sử dụng (1) ta được: aa+b+c<aa+b<a+ca+b+c; ba+b+c<bb+c<b+aa+b+c; ca+b+c<cc+a<c+ba+b+c. Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

Câu hỏi:

18/07/2024 58

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} < 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $1 < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} < 2$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

$\frac{a}{b} < 1 \Rightarrow a < b$

$\Leftrightarrow (a - b) c < 0 \Rightarrow a c < b c \Rightarrow a c + a b < b c + a b \Rightarrow a . (b + c) < b (a + c) \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$

Sử dụng (1) ta được: $\frac{a}{a + b + c} < \frac{a}{a + b} < \frac{a + c}{a + b + c};$ $\frac{b}{a + b + c} < \frac{b}{b + c} < \frac{b + a}{a + b + c}$ ; $\frac{c}{a + b + c} < \frac{c}{c + a} < \frac{c + b}{a + b + c}$ .

Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

So sánh a và b nếu:

a. $2 a + 2018 < 2 b + 2018$

Xem đáp án » 19/10/2022 203

Câu 2:

d. 2a - 4 và 2b + 5

Xem đáp án » 19/10/2022 93

Câu 3:

c. $a^{4} + b^{4} \geq a^{3} b + a b^{3}$

Xem đáp án » 19/10/2022 93

Câu 4:

Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a. (-13).(-5) > (-13).2

Xem đáp án » 19/10/2022 90

Câu 5:

Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

Xem đáp án » 19/10/2022 89

Câu 6:

d. 7 + (-3).5 > 7 + (-5).(-3)

Xem đáp án » 19/10/2022 87

Câu 7:

b. $\frac{x^{2}}{2} \geq 0;$

Xem đáp án » 19/10/2022 86

Câu 8:

Số a là âm hay dương nếu:

a. -8a > 4a

Xem đáp án » 19/10/2022 86

Câu 9:

Cho a > b , hãy so sánh:

a) -3a + 4 và -3b + 4

Xem đáp án » 19/10/2022 83

Câu 10:

c. $- 6 a \geq - 12 a;$

Xem đáp án » 19/10/2022 83

Câu 11:

c. $|- \frac{3}{5}| .3 < 3. |\frac{5}{3}|;$

Xem đáp án » 19/10/2022 82

Câu 12:

c. 2a - 3 và 2b - 3

Xem đáp án » 19/10/2022 82

Câu 13:

b. $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{3}$ ; với a, b $\geq$ 0

Xem đáp án » 19/10/2022 80

Câu 14:

Cho a, b, c, d, e thuộc R . Chứng minh rằng:

a. $a^{2} - a + 1 > 0$

Xem đáp án » 19/10/2022 78

Câu 15:

d. -5a > 15a

Xem đáp án » 19/10/2022 75

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức có lời giải chi tiết

2 đề 9093 lượt thi Thi thử
Bài tập Nhân đơn thức với đa thức (có lời giải chi tiết)

2 đề 6045 lượt thi Thi thử
Tổng hợp bài tập Toán 8 Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

13 đề 5151 lượt thi Thi thử
Top 12 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 3 Đại Số có đáp án, cực hay

16 đề 4995 lượt thi Thi thử
Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

2 đề 3687 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 8 Giữa học kì 2 năm 2020 - 2021 có đáp án

10 đề 3601 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 Hình học có đáp án, cực hay

9 đề 3581 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 4 Đại Số có đáp án, cực hay

11 đề 2856 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Đại Số Toán 8 Học Kì 1 Chương 2 có đáp án, cực hay

9 đề 2817 lượt thi Thi thử
Top 11 Đề kiểm tra Đại số Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 có đáp án, cực hay

6 đề 2779 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

3) Tính số đo các góc của $Δ D M N$ .

217 19/10/2022 Xem đáp án
2) Chứng minh: $Δ A M D = Δ B N D$ .

222 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.

1) Chứng minh: AM = BN.

252 19/10/2022 Xem đáp án
3) Tổng độ dài (DM + DN) không đổi.

170 19/10/2022 Xem đáp án
2) $Δ A B M = Δ D B N$

184 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có $\hat{A} = 60 °$ . Một góc xBy thay đổi sao cho tia Bx cắt cạnh AD tại M, tia By cắt cạnh CD tại N và $\hat{x B y} = 60 °$ . Chứng minh :

1) AB = BD.

241 19/10/2022 Xem đáp án
4) Tính diện tích hình thoi ABCD.

176 19/10/2022 Xem đáp án
3) Biết chu vi của hình thoi ABCD là 8cm . Tính độ dài đường chéo BD ; AC.

176 19/10/2022 Xem đáp án
2) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: $O A^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ .

180 19/10/2022 Xem đáp án
Cho hình thoi ABCD có AB = BD.

1) Chứng minh: Tam giác ABD đều.

171 19/10/2022 Xem đáp án

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu ab<1 thì ab<a+cb+c (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1<aa+b+bb+c+cc+a<2

Trả lời:

ab<1⇒a<b ⇔a–bc<0⇒ac<bc⇒ac+ab<bc+ab⇒a.(b+c)<b(a+c)⇒ab<a+cb+c Sử dụng (1) ta được: aa+b+c<aa+b<a+ca+b+c; ba+b+c<bb+c<b+aa+b+c; ca+b+c<cc+a<c+ba+b+c. Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

So sánh a và b nếu: a. 2a+2018 < 2b+2018

Câu 2:

d. 2a - 4 và 2b + 5

Câu 3:

c. a4+b4≥a3b+ab3

Câu 4:

Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a. (-13).(-5) > (-13).2

Câu 5:

Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. ab≤a+b22≤a2+b22

Câu 6:

d. 7 + (-3).5 > 7 + (-5).(-3)

Câu 7:

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b} < 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $1 < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} < 2$

So sánh a và b nếu:

a. $2 a + 2018 < 2 b + 2018$

c. $a^{4} + b^{4} \geq a^{3} b + a b^{3}$

Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a. (-13).(-5) > (-13).2

Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$