Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = -2 và x = 3 (như hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Nếu $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{x^2}+\ln x+C$  thì f (x) là

Trong không gian Oxyz, gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng (P_m): mx + 2y + nz + 1 = 0 và (Q_m): x - my + nz + 2 = 0 cùng vuông góc với mặt phẳng (a): 4x - y - 6z + 3 = 0. Khi đó ta có

Kí hiệu z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình z² + z + 1 = 0. Tính P = z₁² + z₂²+ z₁z₂.

Cho hàm số y = f(x) là hàm liên tục có tích phân trên [0; 2] thỏa mãn điều kiện f(x²) = 6x⁴ + $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\left(x\right)dx$. Tính I = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$  

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−2; −2; 1), A(1; 2; −3) và đường thẳng d : $\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$. Gọi $\overrightarrow{u}$ = (1; a; b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ đi qua M, ∆ vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của a + 2b là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (P) : 7x + by + cz + d = 0 (với b, c, d ∈ ℝ; c <0) đi qua điểm A(1; 3; 5). Biết mặt phẳng (P) song song với trục Oy và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng $3\sqrt{2}$. Tính T = b + c + d.

Cho hàm số f(x) = ax³ + bx² – 36x + c (a≠ 0; a, b, c ∈ ℝ) có hai điểm cực trị là −6 và 2. Gọi y = g(x) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x) bằng

Cho số phức z = x + iy (với x; y ∈ ℝ) thỏa mãn: 2z – 5i.$\overline{z}$ = −14 – 7i. Tính x + y

Biết phương trình z² + mz + n = 0 (m; n ∈ ℝ) có một nghiệm là 1 – 3i. Tính n + 3m

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) : x² + y² + z² – 4x – 2y + 10z – 14 = 0. Mặt phẳng (P) : −x + 4z + 5 = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tọa độ tâm H của (C) là

Tính nguyên hàm $\int \frac{\left(\ln x+2\right)dx}{x\ln x}$ bằng cách đặt t = lnx ta được nguyên hàm nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(2; 2; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 = 0 có phương trình là

Cho $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos 4x\cos xdx$ = $\frac{\sqrt{2}}{a}+\frac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên, c < 0 và $\frac{b}{c}$ tối giản. Tổng a + b + c bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 2), B(0; 1; 1) và C(−1; −2; −3). Tính diện tích S của tam giác ABC

Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) : x = −1 và (Q) : x = 2. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 2) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 6 – x. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai đường thẳng (P), (Q) bằng

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) giới hạn bởi hai đường thẳng y = x² – 4; y = x – 2 như hình vẽ bên dưới là

Tích phân $\underset{0}{\overset{10}{\int }}x{e}^{30x}dx$ bằng

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x + 2y – z – 6 = 0. Gọi mặt phẳng (β) : x + y + cz + d = 0 không qua O, song song với mặt phẳng (α) và d((α),(β)) = 2. Tính c.d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(−1; 2; 1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; −6) và B(5; 3; −2) có phương trình tham số là

Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-3}{x+1}dx$ 

Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình z² + 3z + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức P = |z₁| + |z₂|

Tính $\int e^{2x-5}dx$ ta được kết quả nào sau đây?

Giá trị các số thực a, b thỏa mãn 2a + (b + 1 + i)i = 1 + 2i (với i là đơn vị ảo) là

Trong không gian Oxyz, cho phương trình của hai đường thẳng d₁ : $\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ và d₂ : $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$. Vị trí tương đối của hai đường d₁ và d₂ là

Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin \text{x}dx$ 

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = $\frac{3}{x}$ và y = 4 – x. Tính S

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(−2; 1; 8). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Tọa độ của điểm H là

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – i + 2| = 2 là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(2; 0; −2) và A(2; 3; 2). Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

Trong không gian Oxyz, gọi M(a; b; c) là giao điểm của đường thẳng d : $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 4z + 4 = 0. Tính T = a + b + c

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – 3y + z – 3 = 0. Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (α)?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 5). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Cho số phức z = −1 + 5i. Phần ảo của số phức $\overline{z}$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích S của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt phẳng (P) : 2x – z + 2 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n\text{'}}$. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Chọn công thức đúng?

Tất cả các nghiệm phức của phương trình z² – 2z + 17 = 0 là

Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=3-t\\ z=-2+t\end{array}\right.$(t ∈ ℝ). Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$ = −2$\overrightarrow{i}$ + 4$\overrightarrow{j}$ − 6$\overrightarrow{k}$. Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ bằng

Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Biểu thức $\int f\left(x\right)dx$ bằng