Cho hình chữ nhật ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M thuộc CD và N thuộc AB sao cho DM = BN.

          a) Chứng minh ANCM là hình bình hành, từ đó suy ra các điểm M, O, N thẳng hàng.

          b) Qua M kẻ đuờng thẳng song song vói AC cắt AD ở E, qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F. Chứng minh tứ giác ENFM là hình bình hành.

          c) Tìm vị trí của điểm M, N để ANCM là hình thoi.

          d) BD cắt NF tại I.  Chứng minh I là trung điểm của NF

a) Ta chứng minh $\left\{\begin{array}{l}AN=CM\\ AN\parallel CM\end{array}\right.\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC

Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo

 

$\Rightarrow$ O là trung điểm MN

b. Ta có: EM//AC nên $\widehat{EMD}=\widehat{ACD}$ (2 góc so le trong)

NF//AC nên $\widehat{BNF}=\widehat{BAC}$ (2 góc so le trong)

Mà $\widehat{ACD}=\widehat{BAC}$ (vì AB//DC, tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow \widehat{EMD}=\widehat{BNF}$

Từ đó chứng minh được $∆EDM = ∆FBN (g.c.g)$

$\Rightarrow EM=FN$

 

Lại có EM//FN (vì cùng song song với AC)

Nên tứ giác ENFM là hình bình hành

c) Tứ giác ANCM là hình thoi Û AC ^ MN tại O Þ M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O, vuông góc AC và cắt CD, AB.

Khi đó M và N là trung điểm của CD và AB.

d) Ta chứng minh được DBOC cân tại $O\Rightarrow \widehat{OCB}=\widehat{OBC} và \widehat{NFB}=\widehat{OCF}$ (đv) Þ DBFI cân tại I Þ IB = IF  (1)

Ta lại chứng minh được DNIB cân tại I Þ IN = IB  (2)

Từ (1) và (2) Þ I là trung điểm của NF.