Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hai đường chéo AC và BD phải thỏa mãn điều kiện gì dể M, N, P, Q là bốn đỉnh của hình vuông.

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

Q là trung điểm của AD (gt)

=> QM là đường trung bình của tam giác ABD. (định lý)

Do đó QM // BD và QM = $\frac{1}{2}$BD (1)

Tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

=> $\left\{\begin{array}{l}NP//BD\\ NP=\frac{1}{2}BD\end{array}\right.$

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tương tự ta cũng có MN là đường trung bình của tam giác BAC nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$AC

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông

=> $\left\{\begin{array}{l}MN\perp NP\\ MN=NP\end{array}\right.$

+ Để MN ⊥ NP => AC ⊥ BD (vì MN // AC, NP // BD)

+ Để MN = NP => AC = BD (vì MN = $\frac{1}{2}$AC, NP = $\frac{1}{2}$BD)

Vậy điều kiện cần để MNPQ là hình vuông là BD = AC; AC ⊥ BD

Đáp án cần chọn là: D