Với các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x³+ y³+ 2xy.

Hướng dẫn giải

Ta có: x²+ 2xy + y² = (x + y)²= 1²= 1 (1)

A = x³+ y³+ 2xy

= (x + y)(x²– xy + y²) + 2xy

= x²– xy + y²+ 2xy

= x²+ xy + y²

Suy ra : 2A = 2x²+ 2xy + 2y²= (x + y)²+ x²+ y²= 1 + x²+ y²

Lại có: (x – y)²≥ 0

⇒ x²– 2xy + y²≥ 0 (2)

Từ (1) và (2)

⇒ (x²+ 2xy + y²) + (x²– 2xy + y²) ≥ 1

⇒ 2(x²+ y²) ≥ 1

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 1 \ge \frac{3}{2}\]

\[ \Rightarrow 2A \ge \frac{3}{2}\]

\[ \Rightarrow A \ge \frac{3}{4}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\]

Vậy với \[x = y = \frac{1}{2}\] thì giá trị nhỏ nhất của \[A \ge \frac{3}{4}\].