Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Từ H vẽ HD vuông góc với cạnh AB tại D, vẽ HE vuông góc với cạnh AC tại E. Biết AB = 15cm, BC = 25 cm.

a) Tính độ dài cạnh AC và diện tích tam giác ABC

b) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho . Chứng minh tứ giác AFDH là hình bình hành

d) Gọi K là điểm đối xứng của B qua A, gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: CM vuông góc với HK

a) $\Delta ABC$ vuông tại A

$\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$(định lý Py–ta–go)

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={25}^2-{15}^2$ 

$=625-225=400$

$\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)(AC>0)$ 

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.15.20}$ 

$=150\left(c{m}^2\right)$

b) Tứ giác ADHE có: $\widehat{DAE}=90°$ (gt)

$\widehat{ADH}=90°(HD\perp AB)$

$\widehat{AEH}=90°(HE\perp AC)$ 

Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có $AF=AE$ (gt), AE=DH (tứ giác ADHE là hình chữ nhật) $\Rightarrow AF=DH$ 

Tứ giác AFDH có AF//DH, AF=DH 

suy ra Tứ giác AFDH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

d) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng BH

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác HAB $\Rightarrow MN\text{//}AB$ 

Mà $AB\perp AC(\widehat{A}=90°)$ 

Nên $MN\perp AC$

$\Delta ACN$ có MN, AH là hai đường cao cắt nhau tại M

$\Rightarrow$ M là trực tâm của tam giác CAN

$\Rightarrow$ CM là đường cao của tam giác CAN $\Rightarrow AM\perp AN$ 

Mặt khác A, N lần lượt là trung điểm của BK, HB

$\Rightarrow$ AN là đường trung bình của tam giác BKH $\Rightarrow AN\text{//}HK$ 

Ta có $CM\perp AN$, $AN\text{//}HK$

Vậy $CM\perp HK$