Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.

a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.

c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD.

d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.

a) Xét tứ giác AECD, có:

Hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O

O là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của DE (E đối xứng với D qua O)

Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.

Ta lại có $AD\perp BC\Rightarrow \widehat{ADC}={90}^0$

$\Rightarrow$AECD là hình chữ nhật.

b) Vì AECD là hình chữ nhật nên AD = CD và AD // CD hay AD // BD.

Xét $\Delta ABC$ cân tại A, có AD là đường cao nên AD cũng là đường là đường trung tuyến

$\Rightarrow$D là trung điểm của BC.

$\Rightarrow$BD = DC

Mà AD = DC

$\Rightarrow$AD = DB

Xét ABDE có AD = DB và AD // BD nên ABDE là hình bình hành

Mặt khác I là trung điểm AD

Do đó I là trung điểm của BE.

c) Ta có: $BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6cm$ (D là trung điểm của BC)

Xét tam giác ADC có:

O là trung điểm AC

I là trung điểm của AD

$\Rightarrow$ OI là đường trung bình tam giác ADC

$\Rightarrow$OI // DC và $OI=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}.6=3cm$.

Mà $DC\perp AD$ (gt)

$\Rightarrow OI\perp AD$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại D, có:

AB² = AD² + DB² (định lý Py – ta – go)

10² = AD² + 6²

100 = AD² + 36

AD² = 100 – 36

AD² = 64

AD = 8 cm.

Diện tích tam giác OAD là:

 $S_{OAD}=\frac{1}{2}.AD.OI=\frac{1}{2}\mathrm{.8.3}=12\left(c{m}^2\right).$

d) Ta có ABDE là hình bình hành nên AB // DE hay AK // DE

Suy ra AKDE là hình thang.

Nên để AKDE là hình thang cân thì $\widehat{AED}=\widehat{KDE}$ (hai góc kề một đáy bằng nhau)

Mà $\widehat{AED}=\widehat{ABD}$ (hai góc đối trong hình bình hành ABDE)

Tứ giác AODK có hình bình hành nên $\widehat{KAO}=\widehat{KDE}$

$\Rightarrow \widehat{KAO}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều.