Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến các đường thẳng \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo a.
Giải bởi qa.haylamdo.com
Đáp án: \(\frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)
Phương pháp giải:
- Kẻ \(OM \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {P \in BC} \right)\). Khi đó ta có \(OP = a,\) \(OM = a\sqrt 2 ,\) \(ON = a\sqrt 3 \).
- Trong \[\left( {OCN} \right)\] kẻ \[OH \bot CN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in CN} \right)\], chứng minh \[OH \bot \left( {ABC} \right)\].
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Kẻ \(OM \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {P \in BC} \right)\)
Khi đó ta có \[OP = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OM = a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ON = a\sqrt 3 \]
Trong \(\left( {OCN} \right)\) kẻ \(OH \bot CN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in CN} \right)\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot ON}\\{AB \bot OC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OCN} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OH \bot AB}\\{OH \bot CN}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Lại có: \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}} = 2\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) = \frac{{11}}{{12{a^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{11}}{{12{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\).
Tiến hành thí nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Cho vào hai bình cầu mỗi bình khoảng 6 ml metyl axetat.
Bước 2: Thêm khoảng 6 - 8 ml dung dịch H2SO4 loãng 25% vào bình thứ nhất, khoảng 12 ml dung dịch NaOH 35% vào bình thứ hai.
Bước 3: Lắc đều cả hai bình, lắp ống sinh hàn rồi đun sôi nhẹ trong khoảng thời gian 5 - 8 phút, sau đó để nguội.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6} \right],{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Cho tứ diện \[ABCD\] có \(AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD\) đôi một vuông góc với \(AB = 6a\), \(AC = 9a\), \(AD = 3a\). Gọi \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ACD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ADB\). Thể tích của khối tứ diện \(AMNP\) bằng:
Este X hai chức, mạch hở, tạo bởi một ancol no với hai axit cacboxylic no, đơn chức. Este Y ba chức, mạch hở tạo bởi glixerol với một axit cacboxylic không no, đơn chức (phân tử có hai liên kết π). Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp E gồm X và Y cần vừa đủ 0,5 mol O2 thu được 0,45 mol CO2. Mặt khác, thủy phân hoàn toàn 0,16 mol E cần vừa đủ 210 ml dung dịch NaOH 2M thu được hai ancol (có cùng số nguyên tử cacbon trong phân tử) và hỗn hợp ba muối, trong đó tổng khối lượng hai muối của hai axit no là a gam. Giá trị của a là
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 3}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\) có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3x - y + z - 7 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
Pha chế 35,8 gam dung dịch CuSO4 bão hòa ở 100oC. Đun nóng dung dịch này cho đến khi có 17,86 gam nước bay hơi, sau đó để nguội đến 20oC. Tính số gam tinh thể CuSO4.5H2O kết tinh. Biết rằng độ tan của CuSO4 trong nước ở 20oC và 100oC lần lượt là 20,26 gam và 75,4 gam.
Nung 0,935 gam quặng cromit với chất oxi hóa để oxi hóa toàn bộ crom thành CrO42-. Hòa tan sản phẩm vào nước, phân hủy hết chất oxi hóa, axit hóa dung dịch bằng H2SO4 rồi thêm 50,0 ml dung dịch FeSO4 0,08M vào. Để chuẩn độ FeSO4 dư cần 14,85 ml dung dịch KMnO4 0,004M. Hàm lượng crom có trong quặng là
Nhiệt phân hoàn toàn m gam hỗn hợp Al(NO3)3 và Fe(NO3)2 thu được 47,3 gam chất rắn Y. Hòa tan Y trong dung dịch NaOH thấy có 0,3 mol NaOH phản ứng. Khối lượng hỗn hợp muối là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)\) \( = 50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Cho chuyển động xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = \frac{{ - 1}}{4}{t^4} + 3{t^2} - 2t - 4\), trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào, giá tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
