Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng:
A.\[\pi + \frac{4}{3}\]
B. \[\frac{\pi }{2} - 1\]
C. \[\frac{\pi }{2}\]
D. \[\frac{\pi }{2} + \frac{1}{3}\]
Giải bởi qa.haylamdo.com
\[{x^2} + {y^2} = 2(y > 0) \Leftrightarrow y = \sqrt {2 - {x^2}} \]
+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:
\(\sqrt {2 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow x = \pm 1\]
+ Với \[ - 1 \le x \le 1\] thì
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \le 1 \Rightarrow {x^4} \le 1}\\{ \Rightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) \le 0}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 0 \le {x^4} \le 2 - {x^2}}\\{ \Rightarrow {x^2} \le \sqrt {2 - {x^2}} }\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^2} - \sqrt {2 - {x^2}} \le 0 \Rightarrow \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right| = \sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}\]
+ Diện tích hình phẳng là:
\[S = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx - \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {x^2}dx\]
+ Với\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx\]
Đặt\[x = \sqrt 2 \sin u \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos udu\]
Khi\[x = - 1 \Rightarrow u = - \frac{\pi }{4}\]
\[x = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\]
Do đó \[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \sqrt {2 - 2{{\sin }^2}u} .\sqrt 2 \cos udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} 2{\cos ^2}udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} (1 + \cos 2u)du\]
\( = u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \frac{1}{2}sin2u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}sin\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1\)
+ Với\({I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx = } \frac{1}{3}{x^3}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\[ \Rightarrow S = {I_1} - {I_2} = \frac{\pi }{2} + 1 - \frac{2}{3} = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{3}\]
Đáp án cần chọn là: D
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]
Cho hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \[{S_1},{S_2}\;\] là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \[m = \frac{a}{b}\] (với \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\] và tối giản) để \[{S_1} + {S_2} = {S_3}\]. Giá trị của 2a−b bằng:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\;\] là:
Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + 1\]và đường thẳng \[(d):y = mx + 2\]. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^3},y = 2 - x\]và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\;\]là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.
Tính \[\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( x \right)dx\]
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = (x - 1){e^x}\], trục hoành, đường thẳng x=0 và x=1
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\] là:
Cho hai hàm số \[f(x) = - x\;\] và \[g(x) = {e^x}\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \[y = f(x),y = g(x)\;\] và hai đường thẳng x=0,x=e là:
Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ).
Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x;y = 2x\] và các đường thẳng \[x = - 1;x = 1\;\] được xác định bởi công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích hai phần A và B lần lượt là \(\frac{{16}}{3}\) và \(\frac{{63}}{4}\). Tính \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^{\frac{3}{2}} f\left( {2x + 1} \right)dx\]
Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục Oxy thì nó có đỉnh (0;8) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là (−4;0). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.
