Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $\frac{2x+1}{2x^2+5x+2}-\frac{3}{x^2-4}=2;$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1;

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0.

a) $\frac{2x+1}{2x^2+5x+2}-\frac{3}{x^2-4}=2$

$\iff \frac{2x+1}{2x^2+4x+x+2}-\frac{3}{x^2-4}=2$

$\iff \frac{2x+1}{2x\left(x+2\right)+\left(x+2\right)}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

$\iff \frac{2x+1}{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

$\iff \frac{2x+1}{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

ĐKXĐ:

$\left\{\begin{array}{c}2x+1\ne 0\\ x+2\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{-1}{2}\\ x\ne -2\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành

$\frac{1}{x+2}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

$\iff \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

$\iff \frac{x-5}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=2$

$\iff \frac{x-5}{x^2-4}=2$

Û x - 5 = 2(x² - 4)

Û 2x² - x - 3 = 0

Û 2x² + 2x - 3x - 3 = 0

Û 2x(x + 1) - 3(x + 1) = 0

Û (2x - 3)(x + 1) = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}2x-3=0\\ x+1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ x=-1\end{array}\right.$

Đối chiếu ĐKXĐ suy ra tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-1;\frac{3}{2}\right\}.$

b) |x - 3| - |x² - x + 1| = 1

Ta có:

$x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}$

$={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$

Nên suy ra

|x - 3| - |x² - x + 1| = 1

Û |x - 3| - (x² - x + 1) = 1

Û |x - 3| = x² - x + 2 (2)

+) TH1: x ³ 3

Phương trình (2) trở thành

Û x - 3 = x² - x + 2

Û x² - 2x + 5 = 0

Mà do x² - 2x + 5 = (x² - 2x + 1) + 4

= (x - 1)² + 4 > 0 "x

Nên suy ra TH1 không cho nghiệm của x

+) TH2: x £ 3

Phương trình (2) trở thành

Û 3 - x = x² - x + 2

Û x² = 1

Đối chiếu ĐKXĐ nên suy ra x = ± 1 là nghiệm của phương trình.

c) (x² - 1)(x³ + 1) ³ 0

Û (x - 1)(x + 1)(x + 1)(x² - x + 1) ³ 0

Û (x - 1)(x + 1)²(x² - x + 1) ³ 0 (3)

Do:

+) (x + 1)² ³ 0 "x 

+) $x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}$

$={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$

Nên suy ra bất phương trình (3) trở thành

Û x - 1 ³ 0 Û x ³ 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x ³ 1}.