Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15cm;AC = 20cm. Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D, tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E. Tính độ dài các đoạn AH, HD và HE.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C² = A C² + A B² ⇒ B C² = 15² + 20²

⇔ B C² = 25² ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}A{B}^2=B{H}^2+H{A}^2\\ A{C}^2=C{H}^2+H{A}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}H{A}^2={15}^2-x^2 \left(1\right)\\ H{A}^2={20}^2-{\left(25-x\right)}^2 \left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

152 - x2 - 202 + ( 25 - x )2 = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A2 = 152 - 92 = 122 ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

$\frac{DB}{DH}=\frac{AB}{HA}\Rightarrow \frac{DB}{DH}=\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}=\frac{DB+DH}{5+\$}=\frac{BH}{9}=\frac{9}{9}=1\Rightarrow DH=4\left(cm\right)$

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

$\frac{EC}{EH}=\frac{CA}{HA}\Rightarrow \frac{EC}{EH}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}=\frac{EC+EH}{3+5}=\frac{CH}{8}=\frac{16}{8}=2\Rightarrow HE=6\left(cm\right)$