Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$$\begin{gathered} a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)\ge 0 \\ \iff \left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff {\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2\ge 0$, luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$$\begin{gathered} 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca) \\ \iff (a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff {(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\ge 0$, luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\left\{\begin{array}{l}{(a-b)}^2\ge 0\\ {(b-c)}^2\ge 0\\ {(c-a)}^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-2ab\ge 0\\ b^2+c^2-2bc\ge 0\\ c^2+a^2-2ca\ge 0\end{array}\right.$                              (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2(ab+bc+ca)\ge 0\iff a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$, đpcm.