IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 8 Toán Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

  • 450 lượt thi

  • 5 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2+b2+c2ab+bc+ca

Xem đáp án

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

a2+b2+c2(ab+bc+ca)0a22ab+b22+b22bc+c22+c22ca+a220

a2b22+b2c22+c2a220, luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)(a2+b22ab)+(b2+c22bc)+(c2+a22ca)0

(ab)2+(bc)2+(ca)20, luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

(a-b)20(b-c)20(c-a)20a2+b22ab0b2+c22bc0c2+a22ca0                              (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

2a2+b2+c22(ab+bc+ca)0a2+b2+c2ab+bc+ca, đpcm.


Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi n* luôn có: 11.2+12.3+...+1n(n+1)<1

Xem đáp án

Nhận xét rằng: 1k(k+1)=1k1k+1

Do đó: VT=112+1213+...+1n1n+1=11n+1<1, đpcm.


Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi a,b luôn có: a+b2.a2+b22.a3+b32a6+b62

Xem đáp án

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

x+y2.x3+y32x4+y42                                         (*)

Thật vậy:

(*)(x+y)(x3+y3)2(x4+y4)xy(x2+y2)xy(x2+y2)x4+y4

(xy)2x+y22+3y240, luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

a+b2.a2+b22.a3+b32=a+b2.a3+b32.a2+b22

                                     a4+b42.a2+b22a6+b62, đpcm.


Câu 4:

Cho a,b,c(0; 1), chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(1b)>14, b(1c)>14, c(1a)>14

Xem đáp án

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:

a(1b).b(1c).c(1a)>164a(1a).b(1b).c(1c)>164        (*)

Ta có nhận xét:

a(1a)=aa2=14(a+12)214

Chứng minh tương tự, ta có:

b(1b)14, c(1c)14

Do đó:

a(1a).b(1b).c(1c)164, tức là (*) sai.


Câu 5:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: a3>b3+c3

Xem đáp án

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

a2=b2+c2

Ta có nhận xét:

a3=a2.a=(b2+c2).a=b2.a+c2.a>a>ca>bb2.b+c2.c=b3+c3, đpcm.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương