Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho . Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: .
Giải bởi qa.haylamdo.com
Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của
và cân tại C và D mà nên
các góc ở đáy của chúng bằng nhau:
=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).
Xét có EF là đường trung bình => EF // MB.
Xét có HG là đường trung bình => HG // AM.
Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.
Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.
Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.
Do đó
Mặt khác (chứng minh trên) nên .
Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG
Từ (1) và (2) suy ra: .
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của và cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của và cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) EF song song với AB và CDCho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh:
a) AFD cân tại FCho hình thang cân ABCD (AB < CD). Vẽ . Chứng minh rằng:
a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo;
Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
