Cho hình thang ABCD ($AB//CD$ ). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho $\frac{DE}{DA}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$ . Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC.

Chứng minh rằng EM=NF.

Kẻ $A{A}^{\text{'}},C{C}^{\text{'}},E{E}^{\text{'}},F{F}^{\text{'}}$  vuông góc với BD ($A^{\text{'}},C^{\text{'}},E^{\text{'}},F^{\text{'}}$ thuộc BD).

Vì $E{E}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}$  (cùng vuông góc với BD)

 $\Rightarrow \frac{E{E}^{\text{'}}}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{DE}{DA}=\frac{1}{3}\Rightarrow E{E}^{\text{'}}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}$

Tương tự có:  $F{F}^{\text{'}}=\frac{1}{3}C{C}^{\text{'}}$

Vì $C{C}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}$  (cùng vuông góc với BD)

 $\Rightarrow \frac{A{A}^{\text{'}}}{C{C}^{\text{'}}}=\frac{OA}{OC}$

Vì $E{E}^{\text{'}}//F{F}^{\text{'}}$  (cùng vuông góc với BD)

$\Rightarrow \frac{EM}{MF}=\frac{E{E}^{\text{'}}}{F{F}^{\text{'}}}=\frac{\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}}{\frac{1}{3}C{C}^{\text{'}}}=\frac{A{A}^{\text{'}}}{C{C}^{\text{'}}}=\frac{OA}{OC}$ (1)

 

Tương tự $\frac{FN}{NE}=\frac{OB}{OD}$  (2)

Măt khác vì $AB//CD\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$  (3)

Từ (1), (2), (3) có $\frac{EM}{MF}=\frac{FN}{NE}\Rightarrow \frac{EM}{EM+MF}=\frac{FN}{FN+NE}\Rightarrow \frac{EM}{EF}=\frac{FN}{EF}\Rightarrow EM=FN$ .

Vậy  $EM=NF$