Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Số đo góc HEC là:

Đáp án D

Ta có D đối xúng với B qua O $\Rightarrow$ B là đường kính của (O) mà E $\in$ (O) $\Rightarrow \widehat{BED} = {90}^o$

Xét $∆$BED và $∆$ABD có: $\widehat{BED} = \widehat{ABD} = {90}^o$, $\hat{D}$ chung

$\Rightarrow ∆BED \backsim ∆ABD (g – g)\Rightarrow \frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}$

$\widehat{BCD} = {90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{AHB} = {90}^o$ (AO là trung trực của BC)

Xét $∆$BCD và $∆$AHB có: $\widehat{BCD} = \widehat{AHB} = {90}^o, \widehat{BDC} = \widehat{ABH}$ (BA là tiếp tuyến của (O) tại B)

$\Rightarrow \Delta BCD\backsim \Delta AHB(g – g)\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{CD}{BH}$ mà $\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\Rightarrow \frac{DE}{BE}=\frac{CD}{BH}$

Xét $∆$BHE và $∆$DCE có $\frac{DE}{BE}=\frac{CD}{BH}$

$\Rightarrow ∆BHE \backsim ∆DCE \Rightarrow \widehat{BEH} = \widehat{DEC}$ (2 góc tương tứng)

$\Rightarrow \widehat{BEH} + \widehat{HED} = \widehat{DEC} + \widehat{HED}\Rightarrow \widehat{BED} = \widehat{HEC}$

Mà $\widehat{BED} = {90}^o$ (chứng minh trên)

Vậy $\widehat{HEC} = {90}^o$