Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của BC và E là giao điểm của đường thẳng AM với đường thẳng DC.

a) Chứng minh rằng: tứ giác ABEC là hình bình hành

b) Gọi F là điểm đối xứng của B qua C. Chứng minh rằng: tứ giác BEFD là hình thoi.

c) Chứng minh rằng: C là trọng tâm tam giác AEF

d) Cho $A{B}^2=3.B{C}^2$ . Gọi H là trung điểm của DF và K là giao điểm của đường thẳng AH với đường thẳng EF. Chứng minh rằng: AE=2MK

a) Xét Tam giác ABM và Tam giác ECM có:

MB=CM (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMB}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh),

$\widehat{ABM}=\widehat{ECM}$ (so le trong và AB//CD)

Do đó $\Delta ABM=\Delta ECM(g.c.g)$

Suy ra: AB=EC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB//EC

Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Ta có AB=CD, AB=CE

Suy ra: CD=CE

Tứ giác BEFD có:

C là trung điểm của DE,

C là trung điểm của BF (B và F đối xứng của C)

Do đó tứ giác BEFD là hình bình hành Mà BF vuông góc với DE 

Vậy tứ giác BEFD là hình thoi

c) Ta có BC=CF, CM=BM=BC/2 (M là trung điểm của BC)

Suy ra $FC=\frac{2}{3}FM$ 

Tam giác AEF có FM là đường trung tuyến, C thuộc đoạn thẳng FM và $FC=\frac{2}{3}FM\Rightarrow C$ là trọng tâm của tam giác AEF.

d) Tam giác ABC vuông tại B $\Rightarrow A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$ (định lí Py-ta-go)

Mà $A{B}^2=3.B{C}^2$

Do đó $A{C}^2=4B{C}^2\Rightarrow AC=2AB(AC>0)$ 

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Ta cóAC=BD, O là trung điểm của AC, BD

Nên AC=BD=BF

Mặt khác O, H lần lượt là trung điểm của BD, DF

$\Rightarrow$ HO là đường trung bình của tam giác DBF $\Rightarrow HO=\frac{BF}{2}$

Tam giác HAC có HO là đường trung tuyến và $HO=\frac{AC}{2}(=\frac{BF}{2})\Rightarrow \Delta HAC$ vuông tại H $\Rightarrow AHC=90°$ 

Mà C, H lần lượt là trung điểm của DE, DF suy ra CH là đường trung bình của tam giác DEF suy ra $CH\text{//}EF\Rightarrow \widehat{AKE}=\widehat{AHC}=90°$ 

Ta có tam giác KAE vuông tại K, KM là đường trung tuyến

Do đó $KM=\frac{AE}{2}$

Vậy AE=2MK.