1) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; –1) và N(2; 1).
2) Cho phương trình: \[{x^2} - 2mx + {m^2} - m + 3 = 0\] (1), với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m = 4.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\]và biểu thức:
\[P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}\]đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải bởi qa.haylamdo.com
1) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; –1) nên \[a + b = - 1\]
đồ thị hàm số đi qua điểm N(2; 1) nên \[2a + b = 1\]
Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\]
Vậy hàm số phải tìm là y = 2x – 3.
2)
a) Với m = 4, phương trình (1) trở thành: \[{x^2} - 8x + 15 = 0\]. Có \[\Delta = 1 > 0\]
Phương trình có hai nghệm phân biệt \[{x_1} = 3;\,\,{x_2} = 5;\]
b) Ta có: ∆' = \[{\left( { - m} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - m + 3} \right) = {m^2} - {m^2} + m - 3 = m - 3\].
Phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\] khi ∆' \[ \ge \]0 \[ \Leftrightarrow \,m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3\]
Với \[m \ge 3\], theo định lí Vi–ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - m + 3\end{array} \right.\]
Theo bài ra: \[P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} = {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2})\]
Áp đụng định lí Vi–ét ta được:
\[P = {m^2} - m + 3 - 2m = {m^2} - 3m + 3\,\,\,\,\, = m(m - 3) + 3\]
Vì \[m \ge 3\]nên \[m(m - 3) \ge 0\], suy ra \[P \ge 3\]. Dấu " = " xảy ra khi m = 3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi m = 3.
Rút gọn biểu thức sau:
a) \[A = \left( {\sqrt {12} - 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 3 + \sqrt {60} .\]
b) \[B = \frac{{\sqrt {4x} }}{{x - 3}}.\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{x}} \,\]với 0 < x < 3.
Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì Quyết Chiến – Cậu bé 13 tuổi qua thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180km từ Sơn La đến bệnh viện Nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35 km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.
Giải phương trình: \[\sqrt {5{x^2} + 27x + 25} - 5\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - 4} .\]
Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.
b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC.
c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng.
