Câu hỏi:

10/07/2024 106

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Lấy điểm M thuộc cạnh SC sao cho CM = 2MS. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM bằng $\frac{4 \sqrt{21}}{7} .$ Thể tích của khối tứ diện C.ABM bằng:

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$

Đáp án chính xác

C. $32 \sqrt{3}$

D. $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi qa.haylamdo.com

Gọi H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều nên $S H ⊥ A B .$

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C) = A B \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C) .$

Dựng hình vuông ABFC ta có $B F / / A C \Rightarrow A C / / (B M F)$

$\Rightarrow d (A C; B M) = d (A C; (B M F)) = d (A; (B M F))$ .

Lại có $A H \cap (B M F) = B \Rightarrow \frac{d (A; (B M F))}{d (H; (B M F))} = \frac{A B}{H B} = 2 \Rightarrow d (A; (B M F)) = 2 d (H; (B M F))$

Trong (SHC) kẻ $M E / / S H (E \in C H) \Rightarrow M E ⊥ (A B C) .$

Kéo dài HC cắt BF tại N, áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{B H}{F C} = \frac{N H}{N C} = \frac{N B}{N F} = \frac{1}{2} \Rightarrow H$ là trung điểm của NC.

$\Rightarrow A C B N$ là hình bình hành

Ta có: $H E \cap (B M F) = N \Rightarrow \frac{d (H; (B M F))}{d (E; (B M F))} = \frac{H N}{E N} = \frac{H C}{H E + H C}$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{H E}{H C} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3} \Rightarrow H E = \frac{1}{3} H C$

$\Rightarrow \frac{d (H; (B M F))}{d (E; (B M F))} = \frac{H N}{E N} = \frac{H C}{H E + H C} = \frac{H C}{\frac{1}{3} H C + H C} = \frac{3}{4} \Rightarrow d (H; (B M F)) = \frac{3}{4} d (E; (B M F))$

$\Rightarrow d (A C; B M) = d (A; (B M F)) = \frac{3}{2} d (E; (B M F))$

Trong (ABC) kẻ $E I / / A B (I \in B F),$ trong (MEI) kẻ $E J ⊥ I M$ ta có:

$\{\begin{cases} B F ⊥ A B, E I / / A B \Rightarrow B F ⊥ E I \\ B F ⊥ M E (M E ⊥ (A B C)) \end{cases} \Rightarrow B F ⊥ (M E I) \Rightarrow B F ⊥ E J$

$\{\begin{cases} E J ⊥ B F \\ E J ⊥ M I \end{cases} \Rightarrow E J ⊥ (B M F) \Rightarrow d (E; (B M F)) = E J$

$\Rightarrow d (A C; B M) = \frac{3}{2} d (E; (B M F)) = \frac{3}{2} E J = \frac{4 \sqrt{21}}{7} \Rightarrow E J = \frac{8}{\sqrt{21}} .$

Ta có: $\frac{M E}{S H} = \frac{C M}{C S} = \frac{2}{3} \Rightarrow M E = \frac{2}{3} S H .$ Mà $S H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M E = \frac{A B \sqrt{3}}{3} .$

Ta có: $\frac{H N}{E N} = \frac{3}{4} (c m t) \Rightarrow \frac{N E}{N H} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{N E}{N C} = \frac{2}{3} = \frac{I E}{F C} = \frac{I E}{A B} \Rightarrow I E = \frac{2}{3} A B .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MEI ta có:

$\frac{1}{E J^{2}} = \frac{1}{E I^{2}} + \frac{1}{E M^{2}}$

$\Rightarrow \frac{21}{64} = \frac{1}{\frac{4}{9} A B^{2}} + \frac{1}{\frac{1}{3} A B^{2}}$

$\Rightarrow \frac{21}{64} = \frac{21}{4 A B^{2}}$

$\Leftrightarrow A B = 4$

$\Rightarrow M E = \frac{A B \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = 8.$

Vậy $V_{C . A B M} = \frac{1}{3} M E . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{3} .8 = \frac{32 \sqrt{3}}{9} .$

Chọn B.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0.$ Tính diện tích mặt cầu (S)

Xem đáp án » 04/07/2022 302

Câu 2:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Xem đáp án » 04/07/2022 237

Câu 3:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Xem đáp án » 04/07/2022 193

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng (a; b) và $x_{0} \in (a; b) .$ Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án » 04/07/2022 177

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $φ$ và $\sin φ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 174

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và có thể tích bằng $\sqrt{3} a^{3} .$ Tính chiều cao h của khối chóp đã cho.

Xem đáp án » 04/07/2022 165

Câu 7:

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

Xem đáp án » 04/07/2022 161

Câu 8:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 1}{f^{2} (x) - 5 f (x)}$

Xem đáp án » 04/07/2022 150

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Xem đáp án » 04/07/2022 147

Câu 10:

Với a là số thực khác không tùy ý, $\log_{2} a^{2}$ bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 131

Câu 11:

Một khối trụ có diện tích xung quanh bằng $80 π .$ Tính thể tích của khối trụ biết khoảng cách giữa hai đáy bằng 10.

Xem đáp án » 04/07/2022 130

Câu 12:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{x - 1}$ có đồ thị như hình vẽ bên:

Tích ab bằng:

Xem đáp án » 04/07/2022 121

Câu 13:

Hình đa diện nào sau đây có tâm đối xứng?

Xem đáp án » 04/07/2022 120

Câu 14:

Biết hàm số f(x) - f(2x) có đạo hàm bằng 20 tại x = 1 và đạo hàm bằng 1001 tại x = 2. Tính đạo hàm của hàm số

f(x) - f(4x) tại x = 1.

Xem đáp án » 04/07/2022 118

Câu 15:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

Xem đáp án » 04/07/2022 116

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất

31 đề 50394 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 22146 lượt thi Thi thử
30 đề thi thử thpt năm 2020 môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

29 đề 19886 lượt thi Thi thử
Đề ôn luyện thi thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 16337 lượt thi Thi thử
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

3 đề 15254 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

30 đề 14711 lượt thi Thi thử
Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải

26 đề 13227 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

31 đề 12854 lượt thi Thi thử
ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2019 MÔN TOÁN CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC

21 đề 10965 lượt thi Thi thử
Bộ đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay

21 đề 10842 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

A. 3233

B. 3239

C. 323

D. 1633

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình S:x2+y2+z2−2x−4y−6z+5=0. Tính diện tích mặt cầu (S)

Câu 2:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=−3x+1x−1 có phương trình là:

Câu 3:

Cho tích phân I=∫1e3lnx+1xdx. Nếu đặt t = lnx thì:

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng (a; b) và x0∈a;b. Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 5:

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$

C. $32 \sqrt{3}$

D. $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0.$ Tính diện tích mặt cầu (S)

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng (a; b) và $x_{0} \in (a; b) .$ Khẳng định nào sau đây sai?