Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \[{5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\]. Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là
A.\[\frac{1}{3}{\log _5}2020.\]
B. \[\frac{1}{6}{\log _5}2018.\]
C. \[\frac{1}{6}{\log _5}2020.\]
D. \[\frac{1}{2}{\log _5}2018.\]
Giải bởi qa.haylamdo.com
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {5^x}}\\{b = {5^{2y}}}\\{c = {5^{3z}}}\end{array}} \right.\) với\[x,\,\,y,\,\,z \ge 0\] thì\[a,\,\,b,\,\,c \ge 1\]
Theo bài ra ta có\[a + b + c = 2020 \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\]
Ta có:
\[(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - a - b + 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + (a + b + c) - (ab + bc + ca) - 1 \ge 0(1)\]
\[(a - 2018)(b - 2018)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - 2018(a + b) + 20182)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + {2018^2}(a + b + c) - 2018(ab + bc + ca) - {2018^3} \le 0(2)\]
Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:
\[2017abc + (2018 - {2018^2})(a + b + c) - 2018 + {2018^3} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc + 2018(1 - 2018)(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018({2018^2} - 2017.2020 - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là\[\frac{1}{6}{\log _5}2018\]
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \[{16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\]có nghiệm dương?
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Biết f(0)=76, giá trị lớn nhất của mm để phương trình \[{e^{2{f^3}\left( x \right) - \frac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \frac{3}{2}}} = m\] có nghiệm trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\;\]là
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Biết phương trình \[{9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2x - 1}}\]có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}lo{g_{\frac{9}{2}}}2\;\].
Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]
Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].
Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].
Tìm tập nghiệm S của phương trình: \[{4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\]
Phương trình \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng
Tìm m để phương trình \[{4^x} - \;{2^{x\; + \;3}} + \;3\; = \;m\;\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right)\;\].
