Cho tam giác ABC  vuông tại A có $AB=6cm,AC=8cm$ . Từ B kẻ tia song song với (Tia Bx thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa C), tia phân giác $\angle BAC$ cắt BC  tại M  và  Bxcắt tia tại N

a)     Chứng minh $\Delta BMN~\Delta CMA$

b)    Chứng minh $AB.AM=AC.MN$

c)     Từ N kẻ NE  vuông góc với $AC\left(E\in AC\right),NE$  cắt BC  tại I. Tính BI

a)      $\Delta BMN$ và $\Delta CMA$  có : $\widehat{N}=\widehat{A}$ (so le trong), $\widehat{BMN}=\widehat{CMA}$  (đối đỉnh)

 

$\Rightarrow \Delta BMN~\Delta CMA(g-g)$+ $\Delta BMN~\Delta CMA\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{MN}{AM}\left(1\right)$

 

b) $\Rightarrow \frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}\left(2\right)$

lại có AM là phân giác

$\frac{MN}{AM}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB.AM=AC.AN$

Từ (1) và (2) ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)$

c) Áp dụng định lý Pytago ta có

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{E}={90}^0$Tứ giác ABNE có và AN là tia phân giác góc A 

$\Rightarrow AE=AB=6\left(cm\right)$

Nên ABNE là hình vuông

$\Rightarrow CE=AC-AE=8-6=2\left(cm\right)$

Ta có $IE//AB$ (cùng $\perp AC)$ $\Rightarrow \frac{CI}{CB}=\frac{EC}{AC}hay\frac{CI}{10}=\frac{2}{6}\Rightarrow CI=\frac{10.2}{6}=\frac{10}{3}$

$\Rightarrow BI=BC-CI=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\left(cm\right)$