Cho tam giác cân $ABC\left(AB=AC\right),O$  là giao điểm các đường trung trực, D là trung điểm cạnh $AB,E$ là trọng tâm của $\Delta ACD.$  Chứng minh $OE\perp CD$

a

Gọi  $H,G$ lần lượt là giao điểm của AO  với BC và CD. Lấy $I\in HC$  sao cho $HI=\frac{1}{3}HC$

Do là trọng tâm $\Delta ABC$  nên $GH=\frac{1}{3}AH$  .

Vì thế ta có $\frac{HI}{HC}=\frac{HG}{HA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GI//AC\Rightarrow \angle HGI=\angle DAO$

$\Rightarrow \Delta GHI~\Delta ADO\Rightarrow \frac{GH}{AD}=\frac{HI}{DO}$

Gọi giao điểm của với là F thì $DE=\frac{2}{3}DF=\frac{2}{3}CH=2HI$ mà $AG=2GH$

Nên $\frac{AG}{AD}=\frac{DE}{DO}$

Gọi giao điểm của với là thì $DE=\frac{2}{3}DF=\frac{2}{3}CH=2HI$ và $AG=2GH$$AG=2GH$ nên: $\frac{AG}{AD}=\frac{DE}{DO}$

Lại có $\angle ODE=\angle DAG$ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Vì thế : $\Delta ADG~\Delta DOE\left(cgc\right)$

Mà $\angle ADO={90}^0$  nên góc tạo bởi DG, AO  cũng ${90}^0\Rightarrow OE\perp CD$