Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC.

a) Chứng minh $\mathrm{ADME}$ là hình chữ nhật

b) Chứng minh $\mathrm{BDEM}$ là hình bình hành

c) Gọi O là giao điểm của BE và DM, I là trung điểm EC. Chứng minh AMOI là hình thang cân

d) Vẽ đường cao AH của  $\mathrm{\Delta ABC}.$Tính số đo $\widehat{\mathrm{DHE}}$

a) Tứ giác ADME có $\widehat{\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{E}}={90}^0\Rightarrow \mathrm{ADME}$ là hình chữ nhật

b) Ta xét $\mathrm{\Delta ABC}$ có M là trung điểm $\mathrm{BC}, \mathrm{ME}//\mathrm{AB}$ (cùng $\perp \mathrm{AC})\Rightarrow \mathrm{D}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{DB}$ mà $\mathrm{EM}=\mathrm{DB}$ (tính chất hình chữ nhật ) $\Rightarrow \mathrm{EM}=\mathrm{DB}$ và $\mathrm{EM}//\mathrm{BD}$ (cùng vuông góc với AB) $\Rightarrow \mathrm{DBME}$ là hình bình hành

c) Ta chứng minh được IM là đường trung bình $\mathrm{\Delta CEB}\Rightarrow \mathrm{IM}//\mathrm{BE}$ mà $\mathrm{IE}//\mathrm{MO}$ (cùng vuông góc với AB) nên $\mathrm{IMOE}$ là hình bình hành nên $\widehat{\mathrm{EIO}}=\widehat{\mathrm{MOE}}$ (1)

lại có $\widehat{\mathrm{MOE}}=\widehat{\mathrm{OIA}}$ (so le trong) (2)

$\mathrm{\Delta EAB}$ vuông tại A, AO là đường trung tuyến (do O là trung điểm BE, t/c hình bình hành) nên $\mathrm{OE}=\mathrm{OA}\Rightarrow \mathrm{\Delta EOA}$ cân tại O $\Rightarrow \widehat{\mathrm{OEA}}=\widehat{\mathrm{EAO}}\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{{\mathrm{I}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_1}$ và $\mathrm{MO}//\mathrm{AI}$ (cùng $\perp \mathrm{AB}$)

Nên IMOAlà hình thang cân.

d) Gọi J là giao điểm của AM, DE => J là trung điểm AM, DE (tính chất hình chữ nhật)

$\mathrm{\Delta AHM}$ vuông tại H có HJ là đường trung tuyến $\Rightarrow \text{}\mathrm{HJ}=\frac{1}{2}\mathrm{AM}$ mà AM = DE (tính chất hình chữ nhật) $\Rightarrow \mathrm{HJ}=\frac{1}{2}\mathrm{DE}\Rightarrow \mathrm{HJ}=\mathrm{JE}=\mathrm{JD}=\frac{1}{2}\mathrm{DE}$

$\mathrm{\Delta EHD}$ có $\mathrm{HJ}=\mathrm{JE}=\mathrm{JD}=\frac{1}{2}\mathrm{DE}\Rightarrow \mathrm{\Delta EHD}$ vuông tại H (định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{DHE}}={90}^0$