Cho tam giác ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác. Qua O kẻ HF song song với BC, DE song song với AB, MK song song với AC (H, K thuộc AB; E, M thuộc BC; D, F thuộc AC). Chứng minh rằng:

$\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=1$

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I. Gọi E là giao điểm của DI và CB. Gọi J là giao điểm của AE và CI. Chứng minh BJ vuông góc với DE.

Cho hình thang ABCD $\left(AB<CD\right)$ , AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng.

Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi I, K, H lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, O, C tới AD. Chứng minh rằng  $AD.BI.CH\le BD.OK.AC$.

Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ . Tính số đo góc BAC.

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120°,AB=2cm,AC=4cm$ . Tính độ dài đường phân giác AD.

Cho tam giác ABC nhọn AH là đường cao. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC}=\widehat{FDB}=90°$ . Chứng minh rằng EF//BC.