Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I. Gọi E là giao điểm của DI và CB. Gọi J là giao điểm của AE và CI. Chứng minh BJ vuông góc với DE.

Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho  $AF=BE$

Gọi giao điểm của CF và EA, ED lần lượt là H, O; giao điểm của EA và DF là K.

Xét $\Delta ABE$  và $\Delta DAF$  có: $\left\{\begin{array}{l}AB=AD\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{ABE}=\widehat{ADF}=90°\\ AF=BE\left(\text{theo caùch döïng}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta DAF\left(c.g.c\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{AFD}=\widehat{BEA}\left(1\right)\\ AE=DF\left(2\right)\end{array}\right.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}\widehat{FAK}=\widehat{BAE}\\ \widehat{BAE}+\widehat{BEA}=90°\end{array}\right.\left(3\right)$

Từ (1) và (3) ta có $\widehat{AFD}+\widehat{FAK}=90°\Rightarrow \widehat{FKA}=90°\Rightarrow EA\perp DF$

Lại có  $\widehat{ADF}=\widehat{BAE}\Rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{ADF}+90°=\widehat{BAE}+90°=\widehat{DAE}$(4)

Xét $\Delta CDF$  và $\Delta DAE$  có: $\left\{\begin{array}{l}\text{CD=DA }\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{CDF}=\widehat{DAE}\text{ (theo (4))}\\ AE=DF\text{ (theo (2))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta CDF=\Delta DAE\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{ADE}$

mà $\widehat{CDO}+\widehat{ADE}=90°\Rightarrow \widehat{CDO}+\widehat{DCF}=90°$

$\Rightarrow ED\perp CF\Rightarrow I$ là trực tâm tam giác CEF; H là trực tâm tam giác DEF

$\Rightarrow CI\perp EF,DH\perp EF\Rightarrow DH//CI\Rightarrow \frac{EJ}{EH}=\frac{EI}{ED}$ (định lý Ta-lét) (*)

Vì $IB//DC$  nên $\frac{EI}{ED}=\frac{EB}{EC}$  (**)

Từ (*) và (**) có $\frac{EJ}{EH}=\frac{EB}{EC}\Rightarrow BJ//CH$  (định lý Ta-lét đảo) mà  $CH\perp ED$

(theo trên), suy ra $BJ\perp ED$ .

Vây BJ vuông góc với DE.