8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4. Bài luyện tập có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác. Qua O kẻ HF song song với BC, DE song song với AB, MK song song với AC (H, K thuộc AB; E, M thuộc BC; D, F thuộc AC). Chứng minh rằng:

$\frac{A K}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C F}{C A} = 1$

Xem đáp án

Vì $K M / / A C$ nên $\frac{A K}{A B} = \frac{M C}{B C}$

Qua F kẻ $F I / / A B$ ; $I \in B C \Rightarrow \frac{C F}{C A} = \frac{C I}{C B} = \frac{E M}{B C}$

$\Rightarrow \frac{A K}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C F}{C A} = \frac{M C}{B C} + \frac{B E}{B C} + \frac{E M}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1$

Vậy $\frac{A K}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C F}{C A} = 1$ .

Câu 2:

Cho tam giác ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác. Qua O kẻ HF song song với BC, DE song song với AB, MK song song với AC (H, K thuộc AB; E, M thuộc BC; D, F thuộc AC). Chứng minh rằng:

\frac{D E}{A B} + \frac{F H}{B C} + \frac{M K}{C A} = 2

Xem đáp án

Vì $F H / / B C$ nên $\frac{F H}{B C} = \frac{A H}{A B}$

Vì $K M / / A C$ nên $\frac{K M}{A C} = \frac{B K}{A B}$

Suy ra $\frac{F H}{B C} + \frac{M K}{A C} + \frac{D E}{A B} = \frac{A H}{A B} + \frac{B K}{A B} + \frac{A K + B H}{A B} = \frac{A H + H B}{A B} + \frac{A K + K B}{A B} = 2$

Vậy $\frac{D E}{A B} + \frac{F H}{B C} + \frac{M K}{C A} = 2$ .

Câu 3:

Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi I, K, H lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, O, C tới AD. Chứng minh rằng $A D . B I . C H \leq B D . O K . A C$ .

Xem đáp án

Kẻ $A E ⊥ B D$

Vì $O K / / H C$ nên $\frac{A O}{A C} = \frac{O K}{H C} \Rightarrow A O . H C = O K . A C$

Lại có $A D . B I . C H = 2 S_{A B D} . C H$

Mà

$B D . A E = 2 S_{A B D}, O A . H C = O K . A C, A O \geq A E \Rightarrow A D . B I . C H = 2 S_{A B D} . C H = B D . A E . C H \leq B D . A O . C H = B D . O K . A C$

Vậy $A D . B I . C H \leq B D . O K . A C$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120 °, A B = 2 c m, A C = 4 c m$ . Tính độ dài đường phân giác AD.

Xem đáp án

Kẻ $D E / / A B$ (E thuộc AC)

Ta có: $\hat{A D E} = \hat{B A D} = \hat{D A E} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .120 ° = 60 °$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow Δ A D E$ đều

Đặt $A D = D E = E A = x$

Vì $A B / / D E$ nên $\frac{D E}{A B} = \frac{C E}{C A}$ (hệ quả định lý Ta-lét) $\Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{4 - x}{4} \Rightarrow 4 x = 2 (4 - x) \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}$

Vậy $A D = \frac{4}{3} c m$ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{A D} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C}$ . Tính số đo góc BAC.

Xem đáp án

Kẻ $D E / / A B$ (E thuộc AC)

Ta có: $\hat{A D E} = \hat{B A D} = \hat{D A E}$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow Δ A D E$ cân tại E

Đặt $D E = E A = x$

Vì $A B / / D E$ nên $\frac{D E}{A B} = \frac{C E}{C A}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{x}{A B} = \frac{A C - x}{A C} = 1 - \frac{x}{A C} \Rightarrow \frac{x}{A B} + \frac{x}{A C} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} = \frac{1}{x}$

Theo đề bài có: $\frac{1}{A D} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} \Rightarrow A D = x \Rightarrow Δ A D E$ đều $\Rightarrow \hat{D A E} = 60 ° \Rightarrow \hat{B A C} = 120 °$

Vậy $\hat{B A C} = 120 °$ .

Câu 6:

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I. Gọi E là giao điểm của DI và CB. Gọi J là giao điểm của AE và CI. Chứng minh BJ vuông góc với DE.

Xem đáp án

Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho $A F = B E$

Gọi giao điểm của CF và EA, ED lần lượt là H, O; giao điểm của EA và DF là K.

Xét $Δ A B E$ và $Δ D A F$ có: $\{\begin{cases} A B = A D (tính chaát hình vuoâng) \\ \hat{A B E} = \hat{A D F} = 90 ° \\ A F = B E (theo caùch döïng) \end{cases}$

$\Rightarrow Δ A B E = Δ D A F (c . g . c) \Rightarrow \{\begin{cases} \hat{A F D} = \hat{B E A} (1) \\ A E = D F (2) \end{cases}$

Mặt khác $\{\begin{cases} \hat{F A K} = \hat{B A E} \\ \hat{B A E} + \hat{B E A} = 90 ° \end{cases} (3)$

Từ (1) và (3) ta có $\hat{A F D} + \hat{F A K} = 90 ° \Rightarrow \hat{F K A} = 90 ° \Rightarrow E A ⊥ D F$

Lại có $\hat{A D F} = \hat{B A E} \Rightarrow \hat{C D F} = \hat{A D F} + 90 ° = \hat{B A E} + 90 ° = \hat{D A E}$ (4)

Xét $Δ C D F$ và $Δ D A E$ có: $\{\begin{cases} CD=DA (tính chaát hình vuoâng) \\ \hat{C D F} = \hat{D A E} (theo (4)) \\ A E = D F (theo (2)) \end{cases}$

$\Rightarrow Δ C D F = Δ D A E (c . g . c) \Rightarrow \hat{D C F} = \hat{A D E}$

mà $\hat{C D O} + \hat{A D E} = 90 ° \Rightarrow \hat{C D O} + \hat{D C F} = 90 °$

$\Rightarrow E D ⊥ C F \Rightarrow I$ là trực tâm tam giác CEF; H là trực tâm tam giác DEF

$\Rightarrow C I ⊥ E F, D H ⊥ E F \Rightarrow D H / / C I \Rightarrow \frac{E J}{E H} = \frac{E I}{E D}$ (định lý Ta-lét) (*)

Vì $I B / / D C$ nên $\frac{E I}{E D} = \frac{E B}{E C}$ (**)

Từ (*) và (**) có $\frac{E J}{E H} = \frac{E B}{E C} \Rightarrow B J / / C H$ (định lý Ta-lét đảo) mà $C H ⊥ E D$

(theo trên), suy ra $B J ⊥ E D$ .

Vây BJ vuông góc với DE.

Câu 7:

Cho hình thang ABCD $(A B < C D)$ , AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng.

Xem đáp án

Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên $\frac{M B}{N D} = \frac{M A}{N C}$

Mà $A B / / D C$ nên AC, MN, BD đồng quy hay O thuộc MN (1 ).

Lại có: $\frac{M A}{N D} = \frac{M B}{N C} = \frac{A B}{C D}$

mà $A B / / D C$ nên AD, MN, BC đồng quy hay I thuộc MN (2).

Từ (1 ) và (2) suy ra I, M, O, N thẳng hàng.

Nhận xét:

- Đây là bài toán đơn giản tuy nhiên được sử dụng rất nhiều với tên gọi Bổ đề hình thang: "Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy"

- Ngược lại: Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là các điểm thẳng hàng".

Câu 8:

Cho tam giác ABC nhọn AH là đường cao. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy điểm D, E, F sao cho $\hat{E D C} = \hat{F D B} = 90 °$ . Chứng minh rằng EF//BC.

Xem đáp án

Kẻ $B O ⊥ C D; C M ⊥ D B (O \in C D; M \in D B)$

Gọi giao điểm của BO và CM là I.

Theo cách dựng suy ra D là trực tâm của tam giác BIC, suy ra $D I ⊥ B C \Rightarrow I, D, A$ thẳng hàng

$\Rightarrow D E / / B I \Rightarrow \frac{A I}{A D} = \frac{A B}{A E}$ (định lí Ta-lét).

Mặt khác $I C / / F D$ (cùng vuông góc với BD)

nên $\frac{A I}{A D} = \frac{A C}{A F} \Rightarrow \frac{A B}{A E} = \frac{A C}{A F} \Rightarrow E F / / B C$ (định lí Ta-lét đảo).

Vậy $E F / / B C$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập Toán 8 Chủ đề 1 và 2: Tổng hợp định lí ta-lét, tam giác đồng dạng và các bài toán liên quan có đáp án

Dạng 4. Bài luyện tập có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương