Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:
x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Ta có: ∆’ = 22 – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.
Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:
∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0
Û n(1 – m) ≥ 1
Mà n > 0 nên 1 – m > 0
Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 1 > 1 – m > 0
Ta có n(1 – m) ≥ 1
mà 1 > 1 – m
nên n > 1
Ta có
Đặt a = và b = n(1 − m) (b ≥ 1)
Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.
Xét P = với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.
Do a nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất
b nhỏ nhất = 1
Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m)
Vậy a nhỏ nhất bằng
Khi đó:
Pmin = = 6,25
Khi m = 0,5 và n = 2.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.
a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.
b) Chứng minh: AC2 = AI.AB = AE.AF .
c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.
d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Cho phương trình x2 – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.