Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB.Gọi M là một điểm trên cung BC $\left(M\ne B;M\ne C\right)$. Kẻ CH vuông góc với AM tại H

a) Tính diện tích hình quạt ứng với cung AC của nửa đường tròn (O) khi R = 3cm

b) Chứng minh rằng tứ giác OACH nội tiếp trong một đường tròn.

c) Chứng minh rằng OH là tia phân giác của góc MOC

d) Tia OH cắt BC tại điểm I. Chứng minh $OI.AM=R^2.\sqrt{2}$

a) Vì $CO\perp AB\Rightarrow \widehat{COA}={90}^0\Rightarrow S_{quat}=\frac{\pi {.3}^2{.90}^0}{{360}^0}=\frac{9\pi }{4}\left(c{m}^2\right)$

b) Ta có $\widehat{COA}=\widehat{CHA}={90}^0$ có 2 đỉnh liên tiếp H, O cùng nhìn cạnh AC dưới 1 góc ${90}^0$ $\Rightarrow CHOA$ là tứ giác nội tiếp

c) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{COH}$ (CAOH nội tiếp ) mà $\widehat{CAM}$ và $\widehat{COM}$ là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM $\Rightarrow \widehat{COH}=\frac{1}{2}\widehat{COM}$ nên OH là tia phân giác góc COM

d) Ta có: $\widehat{CMA}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{AC}={45}^0$

$\Delta COB$ vuông cân $\Rightarrow \widehat{OCB}={45}^0$

Xét $\Delta OIC$ và $\Delta ACM$ có:

$\widehat{CAM}=\widehat{COI}$ (vì CAOH nội tiếp), $\widehat{OCI}=\widehat{AMC}={45}^0$

$\Rightarrow \Delta OIC~\Delta ACM(g.g)\Rightarrow \frac{OI}{OC}=\frac{AC}{AM}\Rightarrow OI.AM=OC.AC=R.R\sqrt{2}=R^2\sqrt{2}$