Cho tam giác ABC có $AB>AC$, trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:

$A{B}^2+A{C}^2=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}.$

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn $CD=10cm$, đáy nhỏ bằng đường cao. Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao $50°$ (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng $50°$) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{4A{H}^2}.$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết $HB=\mathrm{112,}HC=63.$

a) Tính độ dài AH.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{20}{21}$ và $AH=420$ Tính chu vi tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có $AB=24cm,AC=18cm,BC=30cm.$

a) Tính đườn cao AH, số đo góc B và C.

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90°$, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên $AB,AC$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{HB}{HC}\left(1\right).$

b) $D{E}^3=BD.CE.BC\left(2\right).$

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H{C}^2-H{B}^2=A{C}^2-A{B}^2.$

Cho hình thang cân ABCD ($AB\parallel CD$ và $AB<CD$), $BC=15cm$; đường cao $BH=12cm,DH=16cm.$

a) Chứng minh BD vuông góc với BC.

Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết $AB=2\sqrt{3},OA=6.$ Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=a,AC=3a.$ Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho $AD=DE=EC.$

a) Chứng minh $\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}.$

Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$ và $AD=DC$ ($AB<DC$). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB.

Chứng minh rằng $\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{E{C}^2}.$

Cho tam giác ABC trực tâm H.

Chứng minh hệ thức: $A{B}^2+H{C}^2=B{C}^2+H{A}^2=C{A}^2+H{B}^2.$

Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{E}^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.