Cho ∆ABC nhọn (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao AH của ∆ ABC và đường kính AD của (O). Gọi M là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AD.

1) Chứng minh tứ giác ABMH nội tiếp.

2) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt hai tia AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

3) Gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I song song với CD cắt BM tại K, tia DK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại Q. Chứng minh tứ giác SBKI nội tiếp và SQ là tiếp tuyến của (O).

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 4x − m + 1.

1)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 4.

2) Gọi hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x₁, x₂. Tìm m để  $\sqrt{x_1}$ =  $\sqrt{2x_2}$.

1)Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một hội trường có 100 ghế ngồi được kê thành những dãy ghế, mỗi dãy ghế có số ghế ngồi như nhau. Sau đó, khi sửa chữa người ta đã bổ sung thêm 5 dãy ghế. Để đảm bảo số chỗ ngồi của hội trường như ban đầu, mỗi dãy ghế được kê ít hơn so với ban đầu là 1 ghế. Hỏi ban đầu, hội trường có bao nhiêu dãy ghế?

2) Chiếc mũ sinh nhật là một hình nón được làm từ bìa cứng có đường kính đáy là 36cm, độ dài đường sinh là 35cm. Hãy tính diện tích phần bìa cứng để làm chiếc mũ nói trên. (Bỏ qua mép gấp và cho π ≈ 3,14).

1) Giải phương trình: x⁴ − 3x² + 2 = 0

2) Giải hệ phương trình  : $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-3y=1\end{array}\right.$

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn (a + b + c)abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  $\frac{a^5}{a^3+2b^3}+\frac{b^5}{b^3+2c^3}+\frac{c^5}{c^3+2a^3}$.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Tính  $\widehat{BDC}$.

2) Chứng minh AEHD là tứ giác nội tiếp.

3) Các đường thẳng BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P khác B, Q khác C). Chứng minh HB.HP = HC.HQ.

4) Chứng minh OA vuông góc DE.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = f(x) = x²

1) Tính f(−1); f(3).

2) Cho A(−1; 1), B(3; 9) nằm trên đồ thị hàm y = x². Gọi M là điểm thay đổi trên đồ thị hàm số y = x² và có hoành độ là m (−1 < m < 3). Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất.

) Giải hệ phương trình và phương trình sau:

a)  $\left\{\begin{array}{c}3x-1=0\\ 3x+2y=3\end{array}\right.$

b) x² + x – 2 = 0

2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm phương trình x – 5y = −7?

Cho phương trình 4x⁴ + x² – 5 = 0. Đặt x² = t (t ≥ 0) thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào trong các phương trình sau?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của phương trình 4x – 3y = −1 là đường thẳng nào sau đây?

x = 2 là nghiệm của phương trình nào?

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, khẳng định nào sau đây là đúng?

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông có cạnh bằng a là

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 8cm là

Công thức nào sau đây là công thức tính diện tích hình tròn bán kính R?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y = x²?

(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho AO > 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và OH.OA = R².

b) Kẻ dây cung BD của đường tròn (O; R) song song với AO. Đoạn AD cắt (O; R) tại E (khác D). Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác ABFO nội tiếp và tam giác BEF vuông.

c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R). Chứng minh tia AO là phân giác của góc DAK.

(0,5 điểm) Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm x 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm (như hình bên).

Hãy tính bán kính r của đường tròn đáy và thể tích của hình trụ (kết quả làm tròn đến hàng dơn vị). Biết: diện tích xung quanh của hình trụ bằng 2prh, thể tích hình trụ bằng pr²h (h là chiều cao của hình trụ).

(1,0 điểm) Một cửa hàng bán loại kem lạnh A như sau: nếu mua không quá 3 hộp thì giá 40 nghìn đồng mỗi hộp, nếu mua nhiều hơn 3 hộp thì bắt đầu từ hộp thứ tư trở đi giá mỗi hộp sẽ giảm đi 20% so với giá ban đầu.

a) Viết công thức tính y (số tiền mua kem) theo x (số hộp kem mua được trong trường hợp mua nhiều hơn 3 hộp).

b) An và Bình đều mua loại kem lạnh A với số hộp nhiều hơn 3. Biết rằng số hộp kem An mua gấp đôi số hộp Bình mua, đồng thời tổng số tiền mua kem của hai bạn là 624 nghìn đồng, hỏi bạn Bình mua bao nhiêu hộp kem? Giải thích.

(1,0 điểm) Lớp 9A có 42 học sinh. Vừa qua lớp đã phát động phong trào tặng sách cho các bạn khó khăn ở vùng sâu. Tại buổi phát động, mỗi học sinh trong lớp đều tặng 3 quyển sách hoặc 5 quyển sách. Kết quả cả lớp đã tặng được 146 quyển sách. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn tặng 3 quyển sách và bao nhiêu bạn tặng 5 quyển sách?

(1,5 điểm) Cho phương trình: x² + 2mx + m² + 2m – 2 = 0 (1) (x là ẩn).

a) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để x₁x₂ + x₁ + x₂ = 0.

(1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = $\frac{x^2}{2}$  và đồ thị (D) của hàm số y = −3x – 4 trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tính tọa độ các giao điểm của đồ thị (P) và đồ thị (D).

(1,5 điểm) Giải các phương trình

a) 2x² – 5x + 2 = 0;

b) x⁴ + x² – 6 = 0.

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và 2 đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D Î AC, E Î AB).

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AM của đường tròn (O), AH cắt BC tại F (F Î BC).

Chứng minh: AB.AC = AF.AM

c) Tia DE và CB cắt nhau tại K. AK cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: N, H, M thẳng hàng.

Người ta thả một quả trứng vào cốc thủy tinh hình trụ có chứa nước, trứng chìm hoàn toàn xuống đáy cốc. Hỏi thể tích quả trứng dó là bao nhiêu cm³? (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết cốc thủy hình trụ có đường kính đáy 10 cm và nước trong cốc dâng thêm 7,5 mm.

(Công thức tính thể tích hình trụ: V = pr²h, với r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ.)

Công ty A thực hiện một cuộc khảo sát để tìm hiểu về mối liên hệ giữa y (sản phẩm) là số lượng sản phẩm T bán ra với x (đồng) là giá bán ra của mỗi sản phẩm T và nhận thấy rằng y = ax + b (a, b là hằng số). Biết giá bán là 500 000 đồng một sản phẩm thì số lượng sản phẩm bán ra là 1 300 (sản phẩm); với giá bán 540 000 đồng một sản phẩm thì số lượng sản phẩm bán ra là 1 600 (sản phẩm).

a) Xác định a, b.

b) Bằng phép tính, hãy tính số lượng sản phẩm bán ra với giá bán là 480 000 đồng một sản phẩm?

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Trong kỳ thi học kì I môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho, cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 59 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi có bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 3 tờ giấy thi? Biết rằng có 3 thí sinh chỉ làm 1 tờ giấy thi.

Cho hàm số y = $-\frac{1}{2}$x² có đồ thị (P) và hàm số y = x – 4 có đồ thị (D).

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.

3) Tính số đo các góc của $\Delta DMN$.

2) Chứng minh: $\Delta AMD=\Delta BND$.

Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần  lượt trên các cạnh AB, BC  sao cho AM + NC = AD.

1) Chứng minh: AM = BN.

3) Tổng độ dài (DM + DN) không đổi.

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}=60°$. Một góc xBy thay đổi sao cho tia Bx cắt cạnh AD tại M, tia By cắt cạnh CD tại N và $\widehat{xBy}=60°$. Chứng minh :

1) AB = BD.

2) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: $O{A}^2=\frac{3}{4}A{B}^2$.

Cho hình thoi ABCD có AB = BD.

1) Chứng minh: Tam giác ABD đều.

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}=60°$, kẻ $BH\perp AD\left(H\in AD\right)$, rồi kéo dài một đoạn HE = BH. Nối E với A, E với D. Chứng minh :

1) H là trung điểm AD.

Cho hình thoi BCNE có $\widehat{A}=60°$. Kẻ 2 đường cao BE và BF $\left(E\in AD;F\in DC\right)$.

1) Chứng minh: BE = BF.