c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Cho hình bình hành ABCD.Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB

Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH  cắt EF  tại D , cắt BC  tại G . Gọi M và N  lần lượt là hình chiếu của G  trên AB  và AC . Chứng minh rằng tứ giác DNGM  là hình thoi.

3) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BD, AC. Chứng minh: $EN=MG=\frac{BC}{2}$.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD , DA.

1) Chứng minh: EF = GH; EH = GF.

c) Với điều kiện của $△$ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của $△$ABC. Chứng minh EF, ID, MH đồng quy.

Cho $△$ABC cân tại A, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Từ M vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F. Gọi I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh $△$EID, $△$DIF cân.

Cho hình thang ABCD (AB // CD) . Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O. Kẻ $OH\perp AB$. Biết AB = 4cm, OH = 1cm. Tính các góc của hình thoi?

Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Lấy E đối xứng với A qua B.  Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với  AC và BC; G là giao điểm của OE và BC; H là giao điểm của OK và CE. Chứng minh:  A, G, H thẳng hàng.

Cho hình thoi ABCD . Trên AB, CD lấy E, F sao cho $AE=\frac{1}{3}AB$, $CF=\frac{1}{3}CD$. Gọi I là giao điểm của EF và DA, K là giao điểm của DE và BI. Chứng minh:

a) Tam giác BDI vuông.

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}<{90}^{\circ }$và AD = 2.AB . Kẻ $CH\perp AB$ có $\widehat{A}<{90}^{\circ }$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: $\widehat{BAD}=2.\widehat{AHM}$

Cho $△$ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại I. Chứng minh: $AI\perp MN$.

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{B}>{90}^{\circ }$. Kẻ  $BE\perp AD$ tại E, $BF\perp DC$ tại F, $DG\perp AB$ tại G, tại G, BE cắt DG tại M, BF cắt DH tại N. Chứng minh các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của hình thoi ABCD.

Cho ABC nhọn , đường cao tại AD, BE. Tia phân giác của $\widehat{DAC}$ cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K.Tia phân giác của $\widehat{EBC}$ cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh: MINK là hình thoi.

Cho hình bình hành ABCD có $AD\perp AC$. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi.

Cho $\Delta ABC$ cân tại B. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của $\widehat{ABC}$  tại D. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho $△$ABC cân tại B có đường cao BE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = EB. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Chứng minh: tứ giác AEDF là hình thoi.

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$ cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng minh rằng:

a) BN $\perp$ CM;

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi

Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.

b) Chứng minh PQ // BC.

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui.

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?

Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:

a) M, O,  P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;

b) Chứng minh tam giác AEF đều.

Cho hình thoi ABCD có B = 60°. Kẻ AE $\perp$ DC, AF $\perp$ BC.

a) Chứng minh AE = AF.

Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.