ho phương trình: 2x² – 3x – 8 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂.

a) Không giải phương trình, hãy tính S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂.

b) Tính:  $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}.$

Cho hàm số y = −x² có đồ thị là P và hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (D).

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có bán kính đường tròn đáy 6cm, chiều cao 5 cm.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các đường cao AD và BK cắt nhau tại H (D Î BC, K Î AC).

a) Chứng minh tứ giác CDHK nội tiếp được đường tròn.

b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh  $\widehat{CBE}=\widehat{CAE}$.

c) Chứng minh BC là tia phân giác của  $\widehat{HBE}$.

Cho phương trình x² + 4x + m + 1 = 0 (1), với m là tham số.

a) Xác định các hệ số a, b, b’, c của phương trình (1).

b) Giải phương trình (1) khi m = −6.

c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 10.

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị (P).

a) Nêu điều kiện của x để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b) Vẽ đồ thị (P).

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 6abc.

Chứng minh rằng:  $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}$ ≥ 2.

1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C nằm giữa hai điểm O và A, đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tâm O tại I. Gọi K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm M, tia BM cắt tia CI tại điểm D. Gọi N là giao điểm của AD và nửa đường tròn tâm O.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng: CA.CB = CK.CD.

c) Chứng minh rằng: MA là phân giác  $\widehat{CMN}$.

d) Khi K di chuyển trên đoạn thẳng CI. Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD có tâm nằm trên một đường thẳng cố định.

2. Tính diện tích xung quanh của một hình nón, biết đường kính đáy là 40cm và độ dài đường sinh là 30cm (lấy p ≈ 3,14).

Cho hàm số y = $\frac{1}{2}$x² có đồ thị là parabol (P).

a) Tìm giá trị của m sao cho điểm C(−2; m) thuộc parabol (P).

b) Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng y = x + $\frac{3}{2}$ và parabol (P), biết hoành độ của điểm A nhỏ hơn hoành độ của điểm B. So sánh OB với .OA (với O là gốc tọa độ).

Cho phương trình: x² – mx + m – 2 = 0 (với m là tham số) (1)

a) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 2, khi đó tìm nghiệm còn lại.

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để các nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = −1.

Cho biểu thức: B =  $\frac{2\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{\sqrt{x}+2}+\frac{4}{x-4}$ (với x ≥ 0; x ≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm giá trị của x để biểu thức B có giá trị bằng 1.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia CD lấy điểm E nằm ngoài đường tròn, EB cắt đường tròn tại F (F khác B), AF cắt CD tại K.

a) Chứng minh tứ giác BFKH nội tiếp.

b) Chứng minh AB.BH = EB.BF

c) Cho biết AB = 6 cm, AF = 5 cm. Tính diện tích hình quạt tròn BOF ứng với cung nhỏ BF của đường tròn (O) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}2x-y=7\\ 3x+y=3\end{array}\right.$

b) Giải phương trình: (x – 2)(x² – 4x + 3) = 0.

Một hình trụ có chiều cao h = 6 cm, bán kính đáy r = 3 cm, khi đó diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Độ dài đường tròn (O; 5 cm) bằng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và = 110° thì  bằng

Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn?

Một góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng 30° thì số đo cung bị chắn bằng

Trên đường tròn (O), lấy ba điểm A, B, C sao cho điểm C nằm trên cung lớn AB, biết số đo cung nhỏ AB bằng 72° thì $\widehat{ACB}$  bằng

Cho phương trình x⁴ + 7x² + 10 = 0. Đặt t = x² (t ≥ 0) thì ta được phương trình mới là

Nếu u + v = −8 và uv = 12 thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình

Phương trình 4x² + 2x – 5 = 0 có tổng của hai nghiệm bằng

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là

Biệt thức ∆ (đenta) của phương trình 3x² – x – 2 = 0 bằng

Cho hàm số y = kx² (k ≠ 0). Xác định hệ số k, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(−2; 2).

Hàm số y = $-\frac{2}{3}$ x² đồng biến khi

 Hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{c}4x-4y=2\\ -2x+2y=-1\end{array}\right.$ có số nghiệm là

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh  $\widehat{FEC}+\widehat{ABC}=180°$.

3) Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AH và BC. Chứng minh H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

1) Tính diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao bằng 3 dm và bán kính đáy bằng 2 dm (học sinh không cần vẽ hình khi giải câu này).

2) Bác Thành có một khu vườn hình chữ nhật biết chiều dài hơn chiều rộng 10m và diện tích bằng 1200 m²; bác Thành xây bức tường bao quanh khu vườn, xây theo chu vi của khu vườn, với giá thành được tính mỗi mét của bức tường đo theo chu vi của khu vườn (bên ngoài) có giá là 700 nghìn đồng, không kể phần cổng của khu vườn dài 3 mét. Tính số tiền bác Thành dùng để xây bức tường nói trên.

1) Cho phương trình x² – 6x + m = 0 (với m là tham số).

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

2) Cho x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 3x – 2 = 0.

Tính giá trị của biểu thức P = x₁² + x₂².

Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là (P).

1) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho và vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Tìm tọa độ của điểm M thuộc đồ thị (P) biết M có hoành độ bằng 3.

1) Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{c}2x-y=1\\ x+2y=8\end{array}\right.$.

2) Giải phương trình x² + x – 6 = 0.

3) Giải phương trình x⁴ – x² – 12 = 0.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AH. Từ điểm H kẻ HM vuông góc với AB (M Î AB) và HN vuông góc với AC (N Î AC).

a) Chứng minh: Tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh:  $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

c) Tia MN cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh: AD² = AN.AC.

a) Tính diện tích của một mặt cầu, biết bán kính của mặt cầu đó bằng 6 cm.

b) Biết một hình nón có bán kính đường tròn đáy là 8 cm và độ dài đường sinh là 17 cm. Tính thể tích của hình nón đó.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hai số tự nhiên đó hơn kém nhau 3 đơn vị và tích của chúng bằng 108.

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x².

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x:

x² – (3m + 1)x + 2m² + m – 1 = 0 (Với m là tham số).

Tìm giá trị của m sao cho: x₁² + x₂² – 3x₁x₂ = 4.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải hệ phương trình và phương trình sau:

a)  $\left\{\begin{array}{c}4x-y=5\\ 3x+y=9\end{array}\right.$

b) x² + 4x – 5 = 0

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi D là trung điểm của AB. Đường thẳng DC cắt đường tròn tại E (E khác C). Chứng minh:

a) Tứ giác ABOC nội tiếp.

b) DB² = DE.DC

c)  $\widehat{DEA}=\widehat{DAC}.$

Trong đợt dịch Covid-19, nhân viên y tế của một trường THCS đã mua một số hộp khẩu trang gồm 2 loại. Biết nếu mua 6 hộp loại thứ nhất và 3 hộp loại thứ hai thì hết 2 280 000 đồng; nếu mua 3 hộp loại thứ nhất và 7 hộp loại thứ hai thì hết 2 680 000 đồng. Tính giá tiền mỗi loại hộp khẩu trang.

Cho phương trình ẩn x: x² + 2(m + 3)x + 2m – 11 = 0 (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức:

 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$= 2.

a) Tính chiều cao của một hình trụ có bán kính đáy R = 7 cm và diện tích xung quanh bằng 112p cm².

b) Tính độ dài cung 30° của một đường tròn có bán kính 5 dm.

  Cho (P): y = x² và (d): y = 4x – 3

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (Với A, B là hai tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O; R) tại E. Đoạn ME cắt đường tròn (O; R) tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I.

1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn và IB² = IF.IA.

2) Chứng minh IM = IB.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h. Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.

1) Giải phương trình sau: x² – 2x – 1 = 0

2) Rút gọn biểu thức: A =  $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}-4}{x-4}$ (với x ≥ 0; x ≠ 4).

Với các số thực x, y thỏa mãn x − $\sqrt{x+6}$  = $\sqrt{y+6}$  − y. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức P = x + y